Periksalah hubungan antara garis dan lingkaran berikut.

Garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda karena diskriminannya positif (D=8).

Pembahasan

Untuk memeriksa hubungan antara garis dan lingkaran, kita perlu menentukan apakah garis tersebut memotong lingkaran, menyinggung lingkaran, atau tidak memotong lingkaran sama sekali. Ini dapat dilakukan dengan mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran.

Persamaan Lingkaran: (x-1)² + (y+1)² = 9
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (1, -1) dan jari-jari (r) = √9 = 3.

Persamaan Garis: y = x + 2

Substitusikan y = x + 2 ke dalam persamaan lingkaran:
(x-1)² + ((x+2)+1)² = 9
(x-1)² + (x+3)² = 9

Jabarkan kuadratnya:
(x² - 2x + 1) + (x² + 6x + 9) = 9

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
x² + x² - 2x + 6x + 1 + 9 = 9
2x² + 4x + 10 = 9

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
2x² + 4x + 10 - 9 = 0
2x² + 4x + 1 = 0

Sekarang, kita gunakan diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 untuk menentukan hubungan antara garis dan lingkaran. Diskriminan diberikan oleh rumus D = b² - 4ac.
Dalam kasus ini, a = 2, b = 4, dan c = 1.

D = (4)² - 4(2)(1)
D = 16 - 8
D = 8

Analisis Diskriminan:
- Jika D > 0, garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.
- Jika D = 0, garis menyinggung lingkaran (memotong di satu titik).
- Jika D < 0, garis tidak memotong lingkaran.

Karena D = 8, yang berarti D > 0, maka garis y = x + 2 memotong lingkaran (x-1)² + (y+1)² = 9 di dua titik yang berbeda.