Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ini, kita dapat menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau matriks. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Persamaan yang diberikan:
1) 8x + 2y + 6z = 16
2) 6x - 5y - 2z = -1
3) 5x + 3y + 7z = 15

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel (misalnya y) dari dua pasang persamaan.
Kalikan persamaan (1) dengan 5 dan persamaan (2) dengan 2:
5*(8x + 2y + 6z) = 5*16  => 40x + 10y + 30z = 80
2*(6x - 5y - 2z) = 2*(-1) => 12x - 10y - 4z = -2

Jumlahkan kedua persamaan hasil perkalian tersebut:
(40x + 10y + 30z) + (12x - 10y - 4z) = 80 + (-2)
52x + 26z = 78
Bagi dengan 26: 2x + z = 3 (Persamaan 4)

Kalikan persamaan (2) dengan 3 dan persamaan (3) dengan 5:
3*(6x - 5y - 2z) = 3*(-1) => 18x - 15y - 6z = -3
5*(5x + 3y + 7z) = 5*15  => 25x + 15y + 35z = 75

Jumlahkan kedua persamaan hasil perkalian tersebut:
(18x - 15y - 6z) + (25x + 15y + 35z) = -3 + 75
43x + 29z = 72 (Persamaan 5)

Langkah 2: Selesaikan SPLDV dari Persamaan (4) dan (5).
Dari Persamaan (4), kita dapat menyatakan z = 3 - 2x.
Substitusikan nilai z ke Persamaan (5):
43x + 29(3 - 2x) = 72
43x + 87 - 58x = 72
-15x = 72 - 87
-15x = -15
x = 1

Langkah 3: Substitusikan nilai x ke Persamaan (4) untuk mencari nilai z.
z = 3 - 2x
z = 3 - 2(1)
z = 3 - 2
z = 1

Langkah 4: Substitusikan nilai x dan z ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1) untuk mencari nilai y.
8x + 2y + 6z = 16
8(1) + 2y + 6(1) = 16
8 + 2y + 6 = 16
14 + 2y = 16
2y = 16 - 14
2y = 2
y = 1

Jadi, nilai x = 1, y = 1, dan z = 1.

Langkah 5: Hitung nilai x + y + z.
x + y + z = 1 + 1 + 1 = 3

Jadi, nilai x+y+z adalah 3.