Diketahui tan 75 = (akar(3)+1)/(akar(3)-1) Buktikan bahwa

Nilai tan 75° adalah 2 + akar(3), bukan 1 + akar(3). Bukti menunjukkan bahwa (akar(3)+1)/(akar(3)-1) = 2 + akar(3).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa tan 75° = 1 + akar(3), kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk tangen:
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
Kita tahu bahwa 75° = 45° + 30°.
Maka, tan 75° = tan(45° + 30°)
tan 75° = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°)
Kita tahu bahwa tan 45° = 1 dan tan 30° = 1/akar(3).
Jadi, tan 75° = (1 + 1/akar(3)) / (1 - 1 * 1/akar(3))
tan 75° = (1 + 1/akar(3)) / (1 - 1/akar(3))
Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan akar(3):
tan 75° = ((akar(3) + 1) / akar(3)) / ((akar(3) - 1) / akar(3))
tan 75° = (akar(3) + 1) / (akar(3) - 1)
Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa ini sama dengan 1 + akar(3).
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu (akar(3) + 1):
tan 75° = ((akar(3) + 1) * (akar(3) + 1)) / ((akar(3) - 1) * (akar(3) + 1))
tan 75° = (akar(3)^2 + 2*akar(3) + 1) / (akar(3)^2 - 1^2)
tan 75° = (3 + 2*akar(3) + 1) / (3 - 1)
tan 75° = (4 + 2*akar(3)) / 2
tan 75° = 2 + akar(3)

Ada kesalahan dalam soal yang diberikan. Nilai tan 75° yang benar adalah 2 + akar(3), bukan 1 + akar(3).