Diketahui tan theta=5/4, cosec theta=....

cosec theta = sqrt(41) / 5

Pembahasan

Diketahui tan theta = 5/4. Kita perlu mencari nilai cosec theta.

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri dasar.
Ingat bahwa tan theta = sin theta / cos theta.
Kita juga tahu bahwa sin^2 theta + cos^2 theta = 1.

Dari tan theta = 5/4, kita bisa membayangkan sebuah segitiga siku-siku di mana sisi depan (opposite) adalah 5 dan sisi samping (adjacent) adalah 4. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, sisi miring (hypotenuse) adalah:
hypotenuse^2 = opposite^2 + adjacent^2
hypotenuse^2 = 5^2 + 4^2
hypotenuse^2 = 25 + 16
hypotenuse^2 = 41
hypotenuse = sqrt(41)

Sekarang kita dapat mencari sin theta dan cos theta:
sin theta = opposite / hypotenuse = 5 / sqrt(41)
cos theta = adjacent / hypotenuse = 4 / sqrt(41)

cosec theta adalah kebalikan dari sin theta:
cosec theta = 1 / sin theta
cosec theta = 1 / (5 / sqrt(41))
cosec theta = sqrt(41) / 5

Alternatif lain menggunakan identitas:
1 + tan^2 theta = sec^2 theta
1 + (5/4)^2 = sec^2 theta
1 + 25/16 = sec^2 theta
16/16 + 25/16 = sec^2 theta
41/16 = sec^2 theta
sec theta = sqrt(41) / 4 (mengambil nilai positif untuk kemudahan, tergantung kuadran theta)

Karena sec theta = 1 / cos theta, maka cos theta = 4 / sqrt(41).

Sekarang gunakan sin^2 theta + cos^2 theta = 1:
sin^2 theta + (4/sqrt(41))^2 = 1
sin^2 theta + 16/41 = 1
sin^2 theta = 1 - 16/41
sin^2 theta = 41/41 - 16/41
sin^2 theta = 25/41
sin theta = 5 / sqrt(41) (mengambil nilai positif)

Akhirnya, cosec theta = 1 / sin theta = 1 / (5 / sqrt(41)) = sqrt(41) / 5.

Perlu diingat bahwa jika theta berada di kuadran II atau IV, nilai tan theta bisa positif jika keduanya negatif (sin dan cos). Namun, jika hanya diberi tan theta = 5/4 tanpa informasi kuadran, kita biasanya mengasumsikan kuadran I dimana semua fungsi trigonometri positif, atau kita perlu mempertimbangkan kemungkinan lain. Jika cosec theta juga positif, maka sin theta harus positif, yang berarti theta di kuadran I atau II. Karena tan theta positif, theta di kuadran I atau III. Irisannya adalah kuadran I.

Jadi, cosec theta = sqrt(41) / 5.

Jawaban singkat: cosec theta = sqrt(41) / 5