Diketahui titik K(2,-1,-2), L(3, a, b), dan M(-1,5,4). Jika

-7

Pembahasan

Diketahui tiga titik K(2, -1, -2), L(3, a, b), dan M(-1, 5, 4). Ketiga titik ini berada dalam satu garis lurus (kolinear).

Jika tiga titik berada dalam satu garis lurus, maka vektor yang dibentuk oleh pasangan titik-titik tersebut harus saling sejajar atau merupakan kelipatan satu sama lain. Kita bisa menggunakan vektor KL dan LM, atau vektor KM dan KL, atau vektor KM dan LM.

Mari kita gunakan vektor KL dan LM.
Vektor KL = L - K = (3 - 2, a - (-1), b - (-2)) = (1, a+1, b+2)
Vektor LM = M - L = (-1 - 3, 5 - a, 4 - b) = (-4, 5-a, 4-b)

Karena K, L, dan M segaris, maka vektor KL sejajar dengan vektor LM. Ini berarti vektor LM adalah kelipatan skalar dari vektor KL, atau sebaliknya. Misalkan vektor LM = k * vektor KL.

(-4, 5-a, 4-b) = k * (1, a+1, b+2)

Dari komponen x:
-4 = k * 1  => k = -4

Sekarang kita gunakan nilai k = -4 untuk komponen y dan z:

Komponen y:
5 - a = k * (a+1)
5 - a = -4 * (a+1)
5 - a = -4a - 4
Pindahkan -4a ke kiri dan 5 ke kanan:
-a + 4a = -4 - 5
3a = -9
a = -9 / 3
a = -3

Komponen z:
4 - b = k * (b+2)
4 - b = -4 * (b+2)
4 - b = -4b - 8
Pindahkan -4b ke kiri dan 4 ke kanan:
-b + 4b = -8 - 4
3b = -12
b = -12 / 3
b = -4

Jadi, nilai a adalah -3 dan nilai b adalah -4.

Yang ditanyakan adalah nilai a + b.

a + b = -3 + (-4)
a + b = -7

Alternatif lain: Gunakan vektor KM dan KL.
Vektor KM = M - K = (-1 - 2, 5 - (-1), 4 - (-2)) = (-3, 6, 6)
Vektor KL = (1, a+1, b+2)

Karena segaris, vektor KM = m * vektor KL.
(-3, 6, 6) = m * (1, a+1, b+2)

Dari komponen x: -3 = m * 1 => m = -3.

Komponen y: 6 = m * (a+1) = -3 * (a+1)
6 = -3a - 3
9 = -3a
a = -3

Komponen z: 6 = m * (b+2) = -3 * (b+2)
6 = -3b - 6
12 = -3b
b = -4

Hasilnya sama, a = -3 dan b = -4.

Maka a + b = -3 + (-4) = -7.