Diketahui titik P(1,1,1) dan titik Q(-1,4,-6), tentukan:a.

a. $\vec{p}=\langle 1,1,1\rangle, \vec{q}=\langle -1,4,-6\rangle$; b. $\vec{PQ}=\langle -2,3,-7\rangle$; c. $-\vec{PQ}=\langle 2,-3,7\rangle$; d. $\hat{u}_{PQ}=\langle \frac{-2}{\sqrt{62}}, \frac{3}{\sqrt{62}}, \frac{-7}{\sqrt{62}} \rangle$

Pembahasan

Untuk menentukan vektor posisi, komponen vektor, negatif vektor, dan vektor satuan dari titik P(1,1,1) dan Q(-1,4,-6):

a. Vektor posisi titik P ($\vec{p}$) adalah vektor yang ditarik dari titik pangkal (0,0,0) ke titik P. Jadi, $\vec{p} = \langle 1, 1, 1 \rangle$.
Vektor posisi titik Q ($\vec{q}$) adalah vektor yang ditarik dari titik pangkal (0,0,0) ke titik Q. Jadi, $\vec{q} = \langle -1, 4, -6 \rangle$.

b. Komponen vektor PQ ($\vec{PQ}$) adalah vektor yang menghubungkan titik P ke titik Q. Dihitung dengan mengurangkan vektor posisi Q dengan vektor posisi P: $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \langle -1 - 1, 4 - 1, -6 - 1 \rangle = \langle -2, 3, -7 \rangle$.

c. Negatif vektor PQ adalah vektor yang memiliki arah berlawanan dengan vektor PQ tetapi panjangnya sama. Dihitung dengan mengalikan setiap komponen vektor PQ dengan -1: $-\vec{PQ} = -(\langle -2, 3, -7 \rangle) = \langle 2, -3, 7 \rangle$.

d. Vektor satuan PQ ($\hat{u}_{PQ}$) adalah vektor PQ yang dibagi dengan panjangnya (magnitudo). Pertama, hitung panjang vektor PQ: $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}$.
Maka, vektor satuan PQ adalah: $\hat{u}_{PQ} = \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} = \frac{\langle -2, 3, -7 \rangle}{\sqrt{62}} = \langle \frac{-2}{\sqrt{62}}, \frac{3}{\sqrt{62}}, \frac{-7}{\sqrt{62}} \rangle$.