Diketahui titik-titik A(3,-1,0), B(2,4,1) , dan C(1,0,5).

-15/sqrt(33)

Pembahasan

Untuk menentukan panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC, kita perlu terlebih dahulu mencari vektor AB dan vektor BC, serta menghitung panjang (magnitudo) dari vektor BC.

1.  Mencari Vektor AB:
Vektor AB dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik B.
A(3, -1, 0), B(2, 4, 1)
AB = B - A = (2-3, 4-(-1), 1-0) = (-1, 5, 1).

2.  Mencari Vektor BC:
Vektor BC dihitung dengan mengurangkan koordinat titik B dari koordinat titik C.
B(2, 4, 1), C(1, 0, 5)
BC = C - B = (1-2, 0-4, 5-1) = (-1, -4, 4).

3.  Menghitung Panjang (Magnitudo) Vektor BC:
Panjang vektor BC dihitung menggunakan rumus \|v\| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2).
\|BC\| = sqrt((-1)^2 + (-4)^2 + 4^2)
\|BC\| = sqrt(1 + 16 + 16)
\|BC\| = sqrt(33).

4.  Menghitung Proyeksi Vektor AB pada Vektor BC:
Panjang proyeksi vektor u pada vektor v diberikan oleh rumus: (u \cdot v) / \|v\|.
Di sini, u = AB = (-1, 5, 1) dan v = BC = (-1, -4, 4).

Hitung hasil perkalian titik (dot product) AB \cdot BC:
AB \cdot BC = (-1)(-1) + (5)(-4) + (1)(4)
AB \cdot BC = 1 - 20 + 4
AB \cdot BC = -15.

Sekarang, hitung panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC:
Panjang Proyeksi = (AB \cdot BC) / \|BC\|
Panjang Proyeksi = -15 / sqrt(33).

Karena panjang proyeksi biasanya dinyatakan sebagai nilai non-negatif, kita bisa menggunakan nilai absolutnya jika konteksnya adalah panjang saja, atau nilai negatif jika itu adalah komponen skalar. Namun, dalam konteks panjang proyeksi vektor, seringkali yang dimaksud adalah besarnya. Jika soal menanyakan 'panjang proyeksi', biasanya merujuk pada skalar positif. Jika hanya menanyakan 'proyeksi skalar', maka bisa negatif. Kita akan berikan nilai skalar.

Panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah -15/sqrt(33).