Diketahui vektor a=(-1 3 -2) dan vektor b=(2 1 -3). Jika

sin θ = ±√3 / 2

Pembahasan

Untuk mencari nilai \(\sin \theta\), kita perlu menghitung vektor \(a \cdot b\) dan \(|a|\), \(|b|\).

Diketahui:
\(a = (-1, 3, -2)\)
\(b = (2, 1, -3)\)

Rumus perkalian dot (titik):
\(a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)
\(a \cdot b = (-1)(2) + (3)(1) + (-2)(-3)\)
\(a \cdot b = -2 + 3 + 6\)
\(a \cdot b = 7\)

Rumus besar vektor:
\(|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)
\(|a| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2}\)
\(|a| = \sqrt{1 + 9 + 4}\)
\(|a| = \sqrt{14}\)

\(|b| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\)
\(|b| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2}\)
\(|b| = \sqrt{4 + 1 + 9}\)
\(|b| = \sqrt{14}\)

Rumus hubungan perkalian dot dengan sudut:
\(a \cdot b = |a| |b| \cos \theta\)
\(7 = \sqrt{14} \times \sqrt{14} \cos \theta\)
\(7 = 14 \cos \theta\)
\(\cos \theta = \frac{7}{14}\)
\(\cos \theta = \frac{1}{2}\)

Untuk mencari \(\sin \theta\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)
\(\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{2})^2\)
\(\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{4}\)
\(\sin^2 \theta = \frac{3}{4}\)
\(\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Karena sudut antara dua vektor bisa berada di kuadran I atau II, nilai sinus bisa positif atau negatif. Namun, jika tidak ada informasi lebih lanjut mengenai rentang sudut \(\theta\), biasanya kita mengambil nilai positif untuk \(\sin \theta\) jika \(\cos \theta\) positif.

Jadi, nilai \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\).