Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathAljabar Vektor

Diketahui vektor a=-4xi+2j dan b=3i+xj, x bulat positif.

Pertanyaan

Diketahui vektor a=-4xi+2j dan b=3i+xj, x bulat positif. Vektor p merupakan proyeksi a ke b dan a sudut yang dibentuk oleh a dan p. Jika cos a=1/akar(2), maka p=....

Solusi

Verified

p = -3i - j

Pembahasan

Diketahui vektor a = -4xi + 2j dan vektor b = 3i + xj, dengan x adalah bilangan bulat positif. Vektor p adalah proyeksi vektor a ke vektor b. Rumus proyeksi vektor a ke b adalah: p = ((a · b) / |b|²) * b Pertama, hitung dot product (a · b): a · b = (-4x)(3) + (2)(x) a · b = -12x + 2x a · b = -10x Kedua, hitung kuadrat panjang vektor b (|b|²): |b|² = (3)² + (x)² |b|² = 9 + x² Sekarang, substitusikan ke dalam rumus proyeksi p: p = ((-10x) / (9 + x²)) * (3i + xj) p = (-30x / (9 + x²))i + (-10x² / (9 + x²))j Diketahui sudut yang dibentuk oleh vektor a dan p adalah α, dan cos α = 1/√2. Ini berarti sudut α adalah 45 derajat. Proyeksi vektor p memiliki arah yang sama atau berlawanan dengan vektor b. Jika cos α bernilai positif (1/√2), maka sudut antara a dan p adalah lancip, yang menyiratkan bahwa proyeksi p searah dengan b. Namun, definisi proyeksi skalar dari a ke b adalah (a · b) / |b|. Jika proyeksi vektor p adalah proyeksi skalar dikalikan dengan vektor satuan dari b, maka arah p akan selalu searah dengan b. Jika cos a = 1/√2, ini berarti sudut antara a dan p adalah 45 derajat. Kita perlu memeriksa apakah arah p sesuai dengan kondisi ini. Dari rumus p, kita bisa melihat bahwa arah vektor p ditentukan oleh vektor b (3i + xj), kecuali jika -10x / (9 + x²) bernilai negatif, yang berarti p berlawanan arah dengan b. Karena x adalah bilangan bulat positif, -10x akan negatif dan 9 + x² akan positif, sehingga -10x / (9 + x²) selalu negatif. Ini berarti vektor p selalu berlawanan arah dengan vektor b. Namun, jika p adalah proyeksi a ke b, maka p harus searah dengan b jika (a · b) positif, dan berlawanan arah jika (a · b) negatif. Dalam kasus ini, a · b = -10x, yang negatif karena x positif. Jadi, p memang berlawanan arah dengan b. Sekarang, kita perlu menemukan nilai x. Karena cos α = 1/√2, sudut antara a dan p adalah 45°. Namun, informasi ini tampaknya tidak secara langsung membantu menemukan nilai x tanpa informasi tambahan mengenai hubungan antara vektor a dan p selain proyeksi. Mari kita periksa kembali definisi proyeksi dan sudut. Vektor p adalah proyeksi a ke b. Sudut α dibentuk oleh a dan p. Jika cos α = 1/√2, maka α = 45°. Kita tahu bahwa vektor p = k * b, di mana k adalah skalar. Dalam kasus proyeksi, k = (a · b) / |b|². Dalam kasus ini, p = (-10x / (9 + x²)) * b. Karena x positif, -10x/(9+x²) negatif, sehingga p berlawanan arah dengan b. Jika a = -4xi + 2j dan p = (-30x / (9 + x²))i + (-10x² / (9 + x²))j, kita dapat menggunakan rumus dot product untuk mencari cos α: cos α = (a · p) / (|a| * |p|) |a| = √((-4x)² + 2²) = √(16x² + 4) |p| = |(a · b) / |b|²| * |b| = |a · b| / |b| = |-10x| / √(9 + x²) = 10x / √(9 + x²) a · p = (-4x) * (-30x / (9 + x²)) + (2) * (-10x² / (9 + x²)) a · p = (120x² / (9 + x²)) - (20x² / (9 + x²)) a · p = 100x² / (9 + x²) cos α = (100x² / (9 + x²)) / (√(16x² + 4) * (10x / √(9 + x²))) cos α = (100x² / (9 + x²)) * (√(9 + x²) / (10x * √(16x² + 4))) cos α = (10x * √(9 + x²)) / ((9 + x²) * √(16x² + 4)) cos α = 10x / (√(9 + x²) * √(16x² + 4)) Kita diberikan cos α = 1/√2: 1/√2 = 10x / (√(9 + x²) * √(16x² + 4)) Kuadratkan kedua sisi: 1/2 = (100x²) / ((9 + x²) * (16x² + 4)) (9 + x²) * (16x² + 4) = 2 * 100x² 144x² + 36 + 16x⁴ + 4x² = 200x² 16x⁴ + 148x² + 36 = 200x² 16x⁴ - 52x² + 36 = 0 Bagi dengan 4: 4x⁴ - 13x² + 9 = 0 Ini adalah persamaan kuadrat dalam x². Misalkan y = x²: 4y² - 13y + 9 = 0 Faktorkan persamaan kuadrat ini: (4y - 9)(y - 1) = 0 Maka, 4y - 9 = 0 atau y - 1 = 0. Jika 4y - 9 = 0, maka y = 9/4. Jika y - 1 = 0, maka y = 1. Karena y = x², maka: x² = 9/4 atau x² = 1. Karena x adalah bilangan bulat positif, maka: x = √(9/4) = 3/2 (bukan bilangan bulat) atau x = √1 = 1. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1. Sekarang kita dapat menghitung vektor p dengan x = 1: p = (-30(1) / (9 + 1²))i + (-10(1)² / (9 + 1²))j p = (-30 / 10)i + (-10 / 10)j p = -3i - 1j Jadi, vektor p = -3i - j.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Proyeksi Vektor
Section: Proyeksi Ortogonal Vektor

Apakah jawaban ini membantu?