Diketahui vektor a=-4xi+2j dan b=3i+xj, x bulat positif.

p = -3i - j

Pembahasan

Diketahui vektor a = -4xi + 2j dan vektor b = 3i + xj, dengan x adalah bilangan bulat positif.
Vektor p adalah proyeksi vektor a ke vektor b. Rumus proyeksi vektor a ke b adalah:
p = ((a · b) / |b|²) * b

Pertama, hitung dot product (a · b):
a · b = (-4x)(3) + (2)(x)
a · b = -12x + 2x
a · b = -10x

Kedua, hitung kuadrat panjang vektor b (|b|²):
|b|² = (3)² + (x)²
|b|² = 9 + x²

Sekarang, substitusikan ke dalam rumus proyeksi p:
p = ((-10x) / (9 + x²)) * (3i + xj)
p = (-30x / (9 + x²))i + (-10x² / (9 + x²))j

Diketahui sudut yang dibentuk oleh vektor a dan p adalah α, dan cos α = 1/√2. Ini berarti sudut α adalah 45 derajat.

Proyeksi vektor p memiliki arah yang sama atau berlawanan dengan vektor b. Jika cos α bernilai positif (1/√2), maka sudut antara a dan p adalah lancip, yang menyiratkan bahwa proyeksi p searah dengan b.

Namun, definisi proyeksi skalar dari a ke b adalah (a · b) / |b|. Jika proyeksi vektor p adalah proyeksi skalar dikalikan dengan vektor satuan dari b, maka arah p akan selalu searah dengan b.

Jika cos a = 1/√2, ini berarti sudut antara a dan p adalah 45 derajat. Kita perlu memeriksa apakah arah p sesuai dengan kondisi ini.

Dari rumus p, kita bisa melihat bahwa arah vektor p ditentukan oleh vektor b (3i + xj), kecuali jika -10x / (9 + x²) bernilai negatif, yang berarti p berlawanan arah dengan b. Karena x adalah bilangan bulat positif, -10x akan negatif dan 9 + x² akan positif, sehingga -10x / (9 + x²) selalu negatif. Ini berarti vektor p selalu berlawanan arah dengan vektor b.

Namun, jika p adalah proyeksi a ke b, maka p harus searah dengan b jika (a · b) positif, dan berlawanan arah jika (a · b) negatif.
Dalam kasus ini, a · b = -10x, yang negatif karena x positif. Jadi, p memang berlawanan arah dengan b.

Sekarang, kita perlu menemukan nilai x. Karena cos α = 1/√2, sudut antara a dan p adalah 45°. Namun, informasi ini tampaknya tidak secara langsung membantu menemukan nilai x tanpa informasi tambahan mengenai hubungan antara vektor a dan p selain proyeksi.

Mari kita periksa kembali definisi proyeksi dan sudut. Vektor p adalah proyeksi a ke b. Sudut α dibentuk oleh a dan p.

Jika cos α = 1/√2, maka α = 45°.
Kita tahu bahwa vektor p = k * b, di mana k adalah skalar. Dalam kasus proyeksi, k = (a · b) / |b|².
Dalam kasus ini, p = (-10x / (9 + x²)) * b.
Karena x positif, -10x/(9+x²) negatif, sehingga p berlawanan arah dengan b.

Jika a = -4xi + 2j dan p = (-30x / (9 + x²))i + (-10x² / (9 + x²))j, kita dapat menggunakan rumus dot product untuk mencari cos α:
cos α = (a · p) / (|a| * |p|)

|a| = √((-4x)² + 2²) = √(16x² + 4)
|p| = |(a · b) / |b|²| * |b| = |a · b| / |b| = |-10x| / √(9 + x²) = 10x / √(9 + x²)

a · p = (-4x) * (-30x / (9 + x²)) + (2) * (-10x² / (9 + x²))
a · p = (120x² / (9 + x²)) - (20x² / (9 + x²))
a · p = 100x² / (9 + x²)

cos α = (100x² / (9 + x²)) / (√(16x² + 4) * (10x / √(9 + x²)))
cos α = (100x² / (9 + x²)) * (√(9 + x²) / (10x * √(16x² + 4)))
cos α = (10x * √(9 + x²)) / ((9 + x²) * √(16x² + 4))
cos α = 10x / (√(9 + x²) * √(16x² + 4))

Kita diberikan cos α = 1/√2:
1/√2 = 10x / (√(9 + x²) * √(16x² + 4))

Kuadratkan kedua sisi:
1/2 = (100x²) / ((9 + x²) * (16x² + 4))

(9 + x²) * (16x² + 4) = 2 * 100x²
144x² + 36 + 16x⁴ + 4x² = 200x²
16x⁴ + 148x² + 36 = 200x²
16x⁴ - 52x² + 36 = 0

Bagi dengan 4:
4x⁴ - 13x² + 9 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam x². Misalkan y = x²:
4y² - 13y + 9 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(4y - 9)(y - 1) = 0

Maka, 4y - 9 = 0 atau y - 1 = 0.
Jika 4y - 9 = 0, maka y = 9/4.
Jika y - 1 = 0, maka y = 1.

Karena y = x², maka:
x² = 9/4  atau  x² = 1.

Karena x adalah bilangan bulat positif, maka:
x = √(9/4) = 3/2 (bukan bilangan bulat) atau x = √1 = 1.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1.

Sekarang kita dapat menghitung vektor p dengan x = 1:
p = (-30(1) / (9 + 1²))i + (-10(1)² / (9 + 1²))j
p = (-30 / 10)i + (-10 / 10)j
p = -3i - 1j

Jadi, vektor p = -3i - j.