Diketahui vektor u=[1 0 2], vektor v=[-1 2 0], vektor w=[3

Pernyataan yang benar adalah nomor 1 (k+l+m=2) dan nomor 2 (Cosinus sudut antara u dan v adalah -1/5).

Pembahasan

Untuk menentukan pernyataan yang benar, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan vektor terlebih dahulu.
Diketahui:
vektor u=[1, 0, 2]
vektor v=[-1, 2, 0]
vektor w=[3, 1, 1]
vektor x=[6, -1, 5]

Persamaan vektor: x = k u + l v + m w
[6, -1, 5] = k[1, 0, 2] + l[-1, 2, 0] + m[3, 1, 1]
[6, -1, 5] = [k, 0, 2k] + [-l, 2l, 0] + [3m, m, m]
[6, -1, 5] = [k - l + 3m, 2l + m, 2k + m]

Dari kesamaan komponen vektor, kita dapatkan sistem persamaan linear:
1. k - l + 3m = 6
2. 2l + m = -1
3. 2k + m = 5

Dari persamaan 2, kita dapatkan m = -1 - 2l.
Substitusikan m ke persamaan 3:
2k + (-1 - 2l) = 5
2k - 2l - 1 = 5
2k - 2l = 6
k - l = 3  (Persamaan 4)

Sekarang kita punya sistem persamaan baru dari Persamaan 1 dan 4:
1. k - l + 3m = 6
4. k - l = 3

Substitusikan Persamaan 4 ke Persamaan 1:
3 + 3m = 6
3m = 3
m = 1

Substitusikan nilai m = 1 ke Persamaan 2:
2l + 1 = -1
2l = -2
l = -1

Substitusikan nilai l = -1 ke Persamaan 4:
k - (-1) = 3
k + 1 = 3
k = 2

Jadi, k=2, l=-1, dan m=1.

Sekarang kita evaluasi setiap pernyataan:
1. k + l + m = 2 + (-1) + 1 = 2. (Pernyataan 1 BENAR)

2. Cosinus sudut antara u dan v:
   u . v = |u| |v| cos(theta)
   u . v = (1)(-1) + (0)(2) + (2)(0) = -1
   |u| = sqrt(1^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(1 + 0 + 4) = sqrt(5)
   |v| = sqrt((-1)^2 + 2^2 + 0^2) = sqrt(1 + 4 + 0) = sqrt(5)
   cos(theta) = (u . v) / (|u| |v|) = -1 / (sqrt(5) * sqrt(5)) = -1/5. (Pernyataan 2 BENAR)

3. Vektor y = (k+l)v = (2 + (-1))v = 1v = v = [-1, 2, 0]
   x . y = [6, -1, 5] . [-1, 2, 0] = (6)(-1) + (-1)(2) + (5)(0) = -6 - 2 + 0 = -8
   akar(x . y) = sqrt(-8) -> tidak terdefinisi dalam bilangan real. (Pernyataan 3 SALAH)
   *Jika yang dimaksud adalah akar(|x.y|), maka sqrt(|-8|) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).
   *Jika yang dimaksud adalah akar(x.x) atau akar(y.y), maka perlu klarifikasi.
   Berdasarkan penulisan soal, 'akar(x . y)' merujuk pada dot product.

4. |y| = |v| = sqrt(5).
   |u| = sqrt(5).
   Jadi, |y| = |u|. (Bagian pertama BENAR)
   Arah vektor y (yaitu v) dan vektor u:
   v = [-1, 2, 0]
   u = [1, 0, 2]
   Karena vektor v tidak merupakan kelipatan positif dari vektor u (yaitu, tidak ada skalar positif 'c' sehingga v = c*u), maka vektor y tidak searah dengan vektor u. Untuk berlawanan arah, v = -c*u dengan c > 0. Ini juga tidak terpenuhi.
   Jadi, y berlawanan arah dengan vektor u adalah SALAH. (Pernyataan 4 SALAH)

Kesimpulan: Pernyataan 1 dan 2 adalah yang benar.