Diketahui vektor u=4i+2j-5k dan vektor v=3i-j+ak. Jika

Nilai a adalah -10 + sqrt(14) atau -10 - sqrt(14).

Pembahasan

Diketahui vektor u = 4i + 2j - 5k dan vektor v = 3i - j + ak. Panjang vektor w = 2u - v adalah 8. Kita perlu mencari nilai a.

Langkah pertama adalah menghitung vektor w:

w = 2u - v
w = 2(4i + 2j - 5k) - (3i - j + ak)
w = (8i + 4j - 10k) - (3i - j + ak)
w = (8 - 3)i + (4 - (-1))j + (-10 - a)k
w = 5i + 5j + (-10 - a)k

Selanjutnya, kita hitung panjang vektor w. Panjang vektor w = |w| diberikan oleh rumus:
|w| = sqrt(w_x^2 + w_y^2 + w_z^2)

Diketahui |w| = 8, maka:
8 = sqrt(5^2 + 5^2 + (-10 - a)^2)
8 = sqrt(25 + 25 + (100 + 20a + a^2))
8 = sqrt(50 + 100 + 20a + a^2)
8 = sqrt(150 + 20a + a^2)

Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar:
8^2 = 150 + 20a + a^2
64 = 150 + 20a + a^2

Susun ulang menjadi persamaan kuadrat:
a^2 + 20a + 150 - 64 = 0
a^2 + 20a + 86 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai a: a = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Dalam kasus ini, a=1, b=20, c=86.

Diskriminan (D) = b^2 - 4ac
D = 20^2 - 4 * 1 * 86
D = 400 - 344
D = 56

Karena diskriminan positif, ada dua solusi real untuk a:

a = [-20 ± sqrt(56)] / (2 * 1)
a = [-20 ± 2 * sqrt(14)] / 2
a = -10 ± sqrt(14)

Jadi, nilai a adalah -10 + sqrt(14) atau -10 - sqrt(14).