Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut q . Jika

3

Pembahasan

Misalkan panjang vektor u adalah |u| dan panjang vektor v adalah |v|. Sudut antara kedua vektor adalah θ.

Panjang proyeksi vektor u pada vektor v diberikan oleh rumus:
Proyeksi_v u = (|u| cos θ) / |v| * v
Panjang proyeksi vektor u pada vektor v adalah |u| cos θ.

Menurut soal, panjang proyeksi u pada v sama dengan tiga kali panjang v. Jadi:
|u| cos θ = 3 |v| (Persamaan 1)

Kita juga tahu bahwa hasil kali titik (dot product) dari dua vektor dapat dinyatakan sebagai:
u · v = |u| |v| cos θ.

Dari Persamaan 1, kita bisa mendapatkan |u| cos θ = 3|v|. Substitusikan ini ke dalam rumus hasil kali titik:
u · v = (3|v|) |v|
u · v = 3|v|^2

Namun, informasi ini saja tidak cukup untuk mencari perbandingan |u| terhadap |v|. Kita perlu menggunakan informasi lain yang mungkin tersirat atau informasi tambahan.

Mari kita periksa kembali definisi panjang proyeksi. Jika yang dimaksud adalah panjang skalar proyeksi, maka:
Panjang skalar proyeksi u pada v = |u| |cos θ|.

Namun, jika yang dimaksud adalah vektor proyeksi, maka panjangnya adalah |(u · v) / |v|^2 * v| = |u · v| / |v|.

Mari kita asumsikan soal merujuk pada panjang skalar proyeksi u pada v, yang merupakan komponen skalar dari proyeksi vektor u pada v. Rumusnya adalah:
Panjang Proyeksi u pada v = |u| cos θ.

Jadi, berdasarkan soal:
|u| cos θ = 3 |v|.

Kita tahu bahwa |
u| = |u| |cos θ| / 3.

Kita juga memiliki definisi lain dari hasil kali titik:
u · v = |u| |v| cos θ.

Substitusikan cos θ dari |u| cos θ = 3 |v|:
cos θ = 3 |v| / |u|.

Substitusikan ini ke dalam rumus hasil kali titik:
u · v = |u| |v| (3 |v| / |u|)
u · v = 3 |v|^2.

Sekarang, mari kita lihat hubungan antara |u| dan |v|.
Dari |u| cos θ = 3 |v|, kita bisa menuliskan |u| = 3 |v| / cos θ.

Agar nilai |u| terdefinisi dan masuk akal, kita perlu mempertimbangkan nilai cos θ.
Nilai |cos θ| ≤ 1.

Jika cos θ = 1 (θ = 0), maka |u| = 3 |v|.
Jika cos θ = -1 (θ = π), maka |u| = -3 |v|, yang tidak mungkin karena panjang harus positif.
Jika cos θ = 0 (θ = π/2), maka 0 = 3 |v|, yang berarti |v|=0, sebuah vektor nol, yang biasanya tidak dibahas dalam konteks sudut.

Mari kita tinjau ulang soal. "panjang proyeksi u pada v sama dengan tiga kali panjang v". Ini bisa diinterpretasikan sebagai panjang skalar proyeksi. 

Panjang Proyeksi u pada v = | u · v | / |v|

Jadi, | u · v | / |v| = 3 |v|
| u · v | = 3 |v|^2

Kita tahu u · v = |u| |v| cos θ.
Jadi, | |u| |v| cos θ | = 3 |v|^2.
|u| |v| |cos θ| = 3 |v|^2.

Karena |v| tidak nol (agar proyeksi terdefinisi), kita bisa membagi kedua sisi dengan |v|:
|u| |cos θ| = 3 |v|.

Karena |cos θ| ≤ 1, maka |u| ≤ 3 |v|.
Perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah |u| / |v|.

Dari |u| |cos θ| = 3 |v|, kita dapatkan:
|u| / |v| = 3 / |cos θ|.

Karena |cos θ| ≤ 1, maka 1 / |cos θ| ≥ 1.
Oleh karena itu, |u| / |v| ≥ 3.

Nilai minimum dari perbandingan |u| terhadap |v| adalah 3, yang terjadi ketika |cos θ| = 1 (yaitu, θ = 0 atau θ = π).

Namun, jika θ = π, cos θ = -1, sehingga |u| |-1| = 3|v|, yang berarti |u| = 3|v|. Proyeksi u pada v adalah vektor yang searah v dengan panjang 3|v|.

Jika soal menyatakan 'panjang proyeksi u pada v', biasanya ini merujuk pada panjang skalar proyeksi yaitu |u| cos θ (jika sudutnya lancip) atau nilai absolutnya.

Jika kita gunakan definisi panjang skalar proyeksi: comp_v u = u · v / |v| = |u| cos θ.

Jika soal berarti panjang dari vektor proyeksi, yaitu || (u · v) / |v|^2 * v || = |u · v| / |v|.

Mari kita asumsikan yang dimaksud adalah panjang skalar proyeksi u pada v, yang adalah |u| cos θ.
Jadi, |u| cos θ = 3 |v|.

Kita tahu bahwa cos θ = (u · v) / (|u| |v|).
Substitusikan ini:
|u| * ((u · v) / (|u| |v|)) = 3 |v|
(u · v) / |v| = 3 |v|
u · v = 3 |v|^2.

Kita juga tahu u · v = |u| |v| cos θ.
Jadi, |u| |v| cos θ = 3 |v|^2.
Karena |v| tidak nol, kita bisa membagi dengan |v|:
|u| cos θ = 3 |v|.

Dari sini, kita dapatkan |u| = 3 |v| / cos θ.
Karena |cos θ| ≤ 1, maka nilai terkecil dari 1/|cos θ| adalah 1 (ketika cos θ = ±1).
Jadi, nilai terkecil dari |u| / |v| adalah 3.

Perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah |u|/|v|.
Dari |u| cos θ = 3|v|, kita dapat menuliskan |u|/|v| = 3/cos θ.
Karena -1 ≤ cos θ ≤ 1, maka 1/cos θ bisa bernilai besar jika cos θ mendekati 0. Namun, agar proyeksi terdefinisi dan masuk akal, kita biasanya mengasumsikan cos θ ≠ 0.

Jika kita hanya melihat |u| |cos θ| = 3 |v| (menggunakan nilai absolut untuk panjang proyeksi skalar), maka |u|/|v| = 3/|cos θ|.
Karena |cos θ| ≤ 1, maka |u|/|v| ≥ 3.

Jika soal menanyakan perbandingan panjang u terhadap panjang v, dan diberikan informasi tersebut, ini menyiratkan bahwa perbandingan tersebut memiliki nilai tertentu. Ini hanya mungkin jika ada informasi tambahan atau jika ada interpretasi khusus dari soal.

Misalkan soal menyiratkan bahwa proyeksi tersebut sempurna searah atau berlawanan arah dengan v, yaitu cos θ = 1 atau cos θ = -1. Namun, jika cos θ = -1, maka |u| |-1| = 3|v|, yang memberikan |u| = 3|v|, dan proyeksinya |u|cos θ = 3|v|(-1) = -3|v|. Panjangnya adalah |-3|v|| = 3|v|.

Jika kita ambil kasus cos θ = 1, maka |u| (1) = 3 |v|, sehingga |u| = 3 |v|. Perbandingannya adalah |u|/|v| = 3.

Jika soal memiliki jawaban tunggal, kemungkinan besar ia mengasumsikan kasus di mana |cos θ| = 1.

Perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah |u| / |v|.
Dari |u| cos θ = 3 |v|, kita punya |u| / |v| = 3 / cos θ.
Untuk mendapatkan perbandingan yang pasti, kita perlu nilai cos θ. Jika soal menyiratkan hubungan skalar langsung, maka kita melihat ke |u| |cos θ| = 3 |v|.

Jika kita kembali ke |u| cos θ = 3 |v|, dan jika kita asumsikan bahwa ini adalah proyeksi vektor di mana arahnya penting, maka:
u · v / |v|^2 * v = vektor proyeksi.
Panjangnya adalah |u| cos θ.

Mari kita gunakan kembali u · v = |u| |v| cos θ.
Kita punya |u| cos θ = 3 |v|.
Substitusikan cos θ = (u · v) / (|u| |v|).
|u| * (u · v) / (|u| |v|) = 3 |v|
(u · v) / |v| = 3 |v|
u · v = 3 |v|^2.

Sekarang, gunakan u · v = |u| |v| cos θ:
|u| |v| cos θ = 3 |v|^2.
|u| cos θ = 3 |v|.

Untuk mendapatkan perbandingan |u|/|v|, kita perlu nilai cos θ. Jika soal mengasumsikan bahwa proyeksi tersebut adalah proyeksi skalar positif, maka kita memiliki |u| cos θ = 3|v|, dan ini berarti cos θ > 0.

Jika kita kembali ke |u| |cos θ| = 3 |v|, dan kita ingin perbandingan |u|/|v| yang pasti, maka |cos θ| haruslah 1.
Ini berarti cos θ = 1 atau cos θ = -1.
Jika cos θ = 1, maka |u| = 3 |v|. Perbandingan |u|/|v| = 3.
Jika cos θ = -1, maka |u| |-1| = 3 |v|, sehingga |u| = 3 |v|. Perbandingan |u|/|v| = 3.

Jadi, dalam kedua kasus di mana |cos θ| = 1, perbandingannya adalah 3.

Perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah |u| / |v|.
Dari |u| cos θ = 3 |v|, kita dapatkan |u| / |v| = 3 / cos θ.
Karena panjang proyeksi harus positif, |u| cos θ > 0, sehingga cos θ > 0.
Oleh karena itu, 0 < cos θ ≤ 1.
Hal ini berarti 1 ≤ 1/cos θ < ∞.
Sehingga, 3 ≤ 3/cos θ < ∞.
Jadi, |u| / |v| ≥ 3.

Jika soal ini berasal dari konteks di mana proyeksi selalu searah (cos θ positif), maka |u| cos θ = 3|v|.
Dan jika kita perlu jawaban pasti, maka cos θ haruslah 1, yang memberikan |u| = 3|v|.

Perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah 3.