Diketahui x^(2)+x-6 adalah faktor dari 2 x^(3)+p x^(2)+q

-12

Pembahasan

Diketahui bahwa (x² + x - 6) adalah faktor dari 2x³ + px² + qx + 6. Ini berarti bahwa akar-akar dari x² + x - 6 juga merupakan akar-akar dari 2x³ + px² + qx + 6.

Pertama, kita faktorkan x² + x - 6:
x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Akar-akarnya adalah x = -3 dan x = 2.

Karena (x + 3) adalah faktor, maka ketika x = -3, polinomial 2x³ + px² + qx + 6 harus bernilai 0.
2(-3)³ + p(-3)² + q(-3) + 6 = 0
2(-27) + p(9) - 3q + 6 = 0
-54 + 9p - 3q + 6 = 0
9p - 3q - 48 = 0
Bagi dengan 3:
3p - q - 16 = 0  ...(Persamaan 1)

Karena (x - 2) adalah faktor, maka ketika x = 2, polinomial 2x³ + px² + qx + 6 harus bernilai 0.
2(2)³ + p(2)² + q(2) + 6 = 0
2(8) + p(4) + 2q + 6 = 0
16 + 4p + 2q + 6 = 0
4p + 2q + 22 = 0
Bagi dengan 2:
2p + q + 11 = 0   ...(Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel p dan q:
1) 3p - q = 16
2) 2p + q = -11

Kita bisa menjumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi q:
(3p - q) + (2p + q) = 16 + (-11)
5p = 5
p = 1

Substitusikan nilai p = 1 ke dalam Persamaan 2:
2(1) + q = -11
2 + q = -11
q = -11 - 2
q = -13

Maka, nilai p + q adalah:
p + q = 1 + (-13) = -12

Jadi, nilai p + q adalah -12.