Diketahui X adalah suhu maksimum harian di sebuah wilayah

Fungsi yang diberikan tidak valid sebagai fungsi kepadatan probabilitas. Namun, jika dihitung secara formal, $\sigma^2 = 12800/81$.

Pembahasan

Diketahui fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X (suhu maksimum harian) adalah:
f(x) = 1/150 x - 2/15, untuk 10 ≤ x ≤ 30.
Kita diminta untuk mencari varians ($\sigma^2$) dari X.

Langkah 1: Verifikasi apakah f(x) adalah fungsi kepadatan probabilitas yang valid.
Integral dari f(x) dari batas bawah ke batas atas harus sama dengan 1.
∫[dari 10 sampai 30] (1/150 x - 2/15) dx
= [1/150 * (x^2/2) - 2/15 * x] [dari 10 sampai 30]
= [x^2/300 - 2x/15] [dari 10 sampai 30]
= [(30^2/300 - 2*30/15) - (10^2/300 - 2*10/15)]
= [(900/300 - 60/15) - (100/300 - 20/15)]
= [(3 - 4) - (1/3 - 4/3)]
= [-1 - (-3/3)]
= [-1 - (-1)]
= -1 + 1 = 0.

TERDAPAT KESALAHAN DALAM FUNGSI YANG DIBERIKAN. Fungsi kepadatan probabilitas tidak mungkin menghasilkan integral 0. Kemungkinan ada kesalahan ketik pada soal. Fungsi kepadatan probabilitas harus selalu non-negatif dalam rentang yang ditentukan.

Mari kita asumsikan fungsi tersebut seharusnya:
f(x) = kx + c, dimana k dan c adalah konstanta sedemikian rupa sehingga integralnya 1 dan f(x) >= 0.

Jika kita mengabaikan konstanta -2/15 dan menganggap fungsinya adalah f(x) = 1/150 x, maka:
∫[dari 10 sampai 30] (1/150 x) dx
= [x^2/300] [dari 10 sampai 30]
= (30^2/300) - (10^2/300)
= (900/300) - (100/300)
= 3 - 1/3 = 8/3. Ini juga bukan 1.

Asumsikan fungsi yang benar adalah:
f(x) = ax + b
∫[10, 30] (ax+b) dx = 1
[ax^2/2 + bx] [10, 30] = 1
(a*30^2/2 + b*30) - (a*10^2/2 + b*10) = 1
(450a + 30b) - (50a + 10b) = 1
400a + 20b = 1
20a + b = 1/20

Jika kita kembali ke soal asli: f(x)=1/150 x - 2/15
Nilai f(x) pada x=10: f(10) = 1/150 * 10 - 2/15 = 10/150 - 2/15 = 1/15 - 2/15 = -1/15. Ini negatif, yang tidak diperbolehkan untuk PDF.
Nilai f(x) pada x=30: f(30) = 1/150 * 30 - 2/15 = 30/150 - 2/15 = 1/5 - 2/15 = 3/15 - 2/15 = 1/15. Ini positif.

Karena fungsi yang diberikan tidak valid sebagai fungsi kepadatan probabilitas (menghasilkan nilai negatif dan integral tidak sama dengan 1), maka perhitungan varians tidak dapat dilakukan dengan benar.

Namun, jika kita DIPAKSA untuk menghitung berdasarkan fungsi yang diberikan, kita akan melanjutkan dengan rumus varians:
$\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2$

Langkah 2: Hitung Nilai Harapan (Mean), E[X].
E[X] = ∫[dari 10 sampai 30] x * f(x) dx
E[X] = ∫[dari 10 sampai 30] x * (1/150 x - 2/15) dx
E[X] = ∫[dari 10 sampai 30] (1/150 x^2 - 2/15 x) dx
E[X] = [1/150 * (x^3/3) - 2/15 * (x^2/2)] [dari 10 sampai 30]
E[X] = [x^3/450 - x^2/15] [dari 10 sampai 30]
E[X] = [(30^3/450 - 30^2/15) - (10^3/450 - 10^2/15)]
E[X] = [(27000/450 - 900/15) - (1000/450 - 100/15)]
E[X] = [(60 - 60) - (100/45 - 100/15)]
E[X] = [0 - (20/9 - 20/3)]
E[X] = - (20/9 - 60/9)
E[X] = - (-40/9)
E[X] = 40/9

Langkah 3: Hitung Nilai Harapan dari X kuadrat, E[X^2].
E[X^2] = ∫[dari 10 sampai 30] x^2 * f(x) dx
E[X^2] = ∫[dari 10 sampai 30] x^2 * (1/150 x - 2/15) dx
E[X^2] = ∫[dari 10 sampai 30] (1/150 x^3 - 2/15 x^2) dx
E[X^2] = [1/150 * (x^4/4) - 2/15 * (x^3/3)] [dari 10 sampai 30]
E[X^2] = [x^4/600 - 2x^3/45] [dari 10 sampai 30]
E[X^2] = [(30^4/600 - 2*30^3/45) - (10^4/600 - 2*10^3/45)]
E[X^2] = [(810000/600 - 2*27000/45) - (10000/600 - 2*1000/45)]
E[X^2] = [(1350 - 54000/45) - (100/6 - 2000/45)]
E[X^2] = [(1350 - 1200) - (50/3 - 400/9)]
E[X^2] = [150 - (150/9 - 400/9)]
E[X^2] = 150 - (-250/9)
E[X^2] = 150 + 250/9
E[X^2] = (1350 + 250) / 9
E[X^2] = 1600/9

Langkah 4: Hitung Varians ($\sigma^2$).
$\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2$
$\sigma^2 = 1600/9 - (40/9)^2$
$\sigma^2 = 1600/9 - 1600/81$
$\sigma^2 = (1600 * 9) / 81 - 1600/81$
$\sigma^2 = (14400 - 1600) / 81$
$\sigma^2 = 12800 / 81

Jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan soal yang diberikan, meskipun tidak valid:
$\sigma^2 = 12800/81
$
Namun, sangat penting untuk dicatat bahwa soal ini cacat karena fungsi yang diberikan bukanlah fungsi kepadatan probabilitas yang valid.