Diketahui y = integral(ax^2+b) dx , maka dy/dx=...

dy/dx = ax^2 + b

Pembahasan

Diketahui sebuah fungsi $y$ yang merupakan hasil integral dari suatu fungsi terhadap $x$, yaitu:
$y = \int (ax^2 + b) dx$

Untuk mencari $\frac{dy}{dx}$, kita perlu melakukan turunan terhadap $y$ terhadap $x$. Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Bagian Pertama, jika $F(x)$ adalah antiturunan dari $f(x)$, maka $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$. Dalam kasus ini, fungsi yang diintegralkan adalah $f(x) = ax^2 + b$.

Ketika kita mengintegralkan $ax^2 + b$ terhadap $x$, kita mendapatkan:
$y = \int (ax^2 + b) dx = a \int x^2 dx + \int b dx$
Menggunakan aturan pangkat untuk integral ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$) dan aturan konstanta ($\int k dx = kx + C$), kita peroleh:
$y = a \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) + bx + C$
$y = a \left( \frac{x^3}{3} \right) + bx + C$
$y = \frac{a}{3}x^3 + bx + C$

Sekarang, kita turunkan $y$ terhadap $x$ untuk mencari $\frac{dy}{dx}$. Menggunakan aturan turunan pangkat ($\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$) dan aturan turunan konstanta ($\frac{d}{dx} c = 0$):
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{3}x^3 + bx + C \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{3}x^3 \right) + \frac{d}{dx} (bx) + \frac{d}{dx} (C)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{3} \cdot (3x^{3-1}) + b \cdot (1x^{1-1}) + 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{3} \cdot (3x^2) + b \cdot (x^0)$
$\frac{dy}{dx} = ax^2 + b \cdot (1)$
$\frac{dy}{dx} = ax^2 + b$

Jadi, jika $y = \int (ax^2 + b) dx$, maka $\frac{dy}{dx} = ax^2 + b$. Ini sesuai dengan Teorema Dasar Kalkulus Bagian Pertama, di mana turunan dari integral tak tentu suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri.