Diketahul sistem persamaan Ilnear tiga varlabel berikut.{

Sistem persamaan ini tidak memiliki solusi real karena inkonsistensi yang muncul.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, kita perlu melakukan beberapa langkah substitusi atau eliminasi. Persamaan yang diberikan adalah:

1. \(\frac{6}{x+1} + \frac{2}{y+1} - \frac{8}{x} = 1\)
2. \(\frac{3}{x+1} - \frac{6}{y-1} + \frac{4}{z} = -1\)
3. \(\frac{9}{x+1} + \frac{10}{y-1} + \frac{12}{z} = 11\)

Langkah 1: Lakukan substitusi untuk menyederhanakan persamaan.
Misalkan \(a = \frac{1}{x+1}\), \(b = \frac{1}{y+1}\), \(c = \frac{1}{x}\), \(d = \frac{1}{y-1}\), dan \(e = \frac{1}{z}\).
Namun, perhatikan bahwa ada \(\frac{1}{x}\) dan \(\frac{1}{x+1}\) serta \(\frac{1}{y+1}\) dan \(\frac{1}{y-1}\). Ini membuat substitusi langsung menjadi rumit. 

Mari kita coba pendekatan yang berbeda dengan mengeliminasi variabel secara bertahap. Perhatikan persamaan 2 dan 3 yang memiliki \(\frac{1}{y-1}\) dan \(\frac{1}{z}\).

Kalikan persamaan 2 dengan 3:
\(3 \times (\frac{3}{x+1} - \frac{6}{y-1} + \frac{4}{z}) = 3 \times (-1)\)
\(\frac{9}{x+1} - \frac{18}{y-1} + \frac{12}{z} = -3\) (Persamaan 4)

Sekarang, kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 3:
\((\frac{9}{x+1} + \frac{10}{y-1} + \frac{12}{z}) - (\frac{9}{x+1} - \frac{18}{y-1} + \frac{12}{z}) = 11 - (-3)\)
\(\frac{9}{x+1} + \frac{10}{y-1} + \frac{12}{z} - \frac{9}{x+1} + \frac{18}{y-1} - \frac{12}{z} = 11 + 3\)
\(\frac{10}{y-1} + \frac{18}{y-1} = 14\)
\(\frac{28}{y-1} = 14\)
\(28 = 14(y-1)\)
\(\frac{28}{14} = y-1\)
\(2 = y-1\)
\(y = 3\)

Sekarang kita tahu \(y=3\). Substitusikan \(y=3\) ke persamaan 1 dan 2 (atau 3).

Dari \(y=3\), maka \(y+1 = 4\) dan \(y-1 = 2\).

Substitusikan \(y+1=4\) ke Persamaan 1:
\(\frac{6}{x+1} + \frac{2}{4} - \frac{8}{x} = 1\)
\(\frac{6}{x+1} + \frac{1}{2} - \frac{8}{x} = 1\)
\(\frac{6}{x+1} - \frac{8}{x} = 1 - \frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1} - \frac{8}{x} = \frac{1}{2}\)
Kalikan kedua sisi dengan \(2x(x+1)\) untuk menghilangkan penyebut:
\(2x(x+1)(\frac{6}{x+1}) - 2x(x+1)(\frac{8}{x}) = 2x(x+1)(\frac{1}{2})\)
\(12x - 16(x+1) = x(x+1)\)
\(12x - 16x - 16 = x^2 + x\)
\(-4x - 16 = x^2 + x\)
\(x^2 + x + 4x + 16 = 0\)
\(x^2 + 5x + 16 = 0\)

Cek diskriminan dari \(x^2 + 5x + 16 = 0\): \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(16) = 25 - 64 = -39\). Karena diskriminan negatif, tidak ada solusi real untuk x dari persamaan ini. 

Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau perhitungan. Mari kita coba substitusikan \(y-1=2\) ke Persamaan 2:
\(\frac{3}{x+1} - \frac{6}{2} + \frac{4}{z} = -1\)
\(\frac{3}{x+1} - 3 + \frac{4}{z} = -1\)
\(\frac{3}{x+1} + \frac{4}{z} = -1 + 3\)
\(\frac{3}{x+1} + \frac{4}{z} = 2\) (Persamaan 5)

Substitusikan \(y-1=2\) ke Persamaan 3:
\(\frac{9}{x+1} + \frac{10}{2} + \frac{12}{z} = 11\)
\(\frac{9}{x+1} + 5 + \frac{12}{z} = 11\)
\(\frac{9}{x+1} + \frac{12}{z} = 11 - 5\)
\(\frac{9}{x+1} + \frac{12}{z} = 6\) (Persamaan 6)

Sekarang kita punya sistem persamaan baru dengan \(x\) dan \(z\):
5. \(\frac{3}{x+1} + \frac{4}{z} = 2\)
6. \(\frac{9}{x+1} + \frac{12}{z} = 6\)

Perhatikan bahwa Persamaan 6 adalah 3 kali Persamaan 5:
\(3 \times (\frac{3}{x+1} + \frac{4}{z}) = 3 \times 2\)
\(\frac{9}{x+1} + \frac{12}{z} = 6\)

Ini berarti kedua persamaan tersebut dependen (satu sama lain merupakan kelipatan), yang mengindikasikan bahwa ada tak hingga banyak solusi untuk \(x\) dan \(z\) yang memenuhi hubungan ini, atau ada kesalahan pada soal asli.

Jika kita kembali ke Persamaan 1 dan substitusi \(y=3\) (sehingga \(y+1=4\)): 
\(\frac{6}{x+1} + \frac{2}{4} - \frac{8}{x} = 1\)
\(\frac{6}{x+1} + \frac{1}{2} - \frac{8}{x} = 1\)
\(\frac{6}{x+1} - \frac{8}{x} = \frac{1}{2}\)
\(12x - 16(x+1) = x(x+1)\)
\(12x - 16x - 16 = x^2 + x\)
\(-4x - 16 = x^2 + x\)
\(x^2 + 5x + 16 = 0\)
Diskriminan \(D = 5^2 - 4(1)(16) = 25 - 64 = -39 < 0\).

Karena tidak ada solusi real untuk x, dan kita sudah menemukan \(y=3\), ini menunjukkan bahwa sistem persamaan ini tidak memiliki solusi real karena inkonsistensi yang muncul dari persamaan pertama setelah \(y=3\) disubstitusikan.

Kesimpulan: Berdasarkan analisis, ditemukan bahwa \(y=3\) adalah solusi yang konsisten dari eliminasi Persamaan 2 dan 3. Namun, substitusi \(y=3\) ke Persamaan 1 menghasilkan persamaan kuadrat tanpa solusi real untuk \(x\). Ini mengindikasikan bahwa sistem persamaan ini tidak memiliki solusi yang memenuhi semua kondisi secara bersamaan, kemungkinan karena adanya kesalahan dalam penulisan soal.