Dodi meminjam uang sebesar Rp4.000.000,00 yang akan

a. Rp320.000,00, b. Rp346.378,24, c. Rp53.621,76

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah anuitas ini, kita akan menggunakan rumus-rumus yang berkaitan dengan pembayaran anuitas.
Diketahui:
Pokok Pinjaman (P) = Rp4.000.000,00
Suku Bunga per bulan (i) = 2% = 0,02
Besar Anuitas per bulan (A) = Rp400.000,00

a. Besar angsuran pertama (an)
Rumus untuk anuitas adalah A = an * (1 + i)^n, di mana n adalah periode pembayaran. Namun, dalam konteks ini, kita biasanya mencari angsuran dari anuitas biasa. Rumus umum anuitas adalah:
A = P * [i * (1 + i)^n] / [(1 + i)^n - 1]

Kita perlu mencari n terlebih dahulu jika tidak diketahui, tetapi dalam soal ini kita diberikan besar anuitas. Mari kita gunakan hubungan antara anuitas, angsuran, dan bunga.
Besar anuitas (A) = Besar Angsuran (an) + Besar Bunga (bn).

Untuk mencari angsuran pertama (a1), kita perlu tahu bunga pertama (b1).
Bunga pertama (b1) = Pokok Pinjaman (P) * suku bunga (i)
b1 = Rp4.000.000,00 * 0,02 = Rp80.000,00

Besar anuitas (A) = a1 + b1
Rp400.000,00 = a1 + Rp80.000,00
a1 = Rp400.000,00 - Rp80.000,00 = Rp320.000,00.

Jadi, besar angsuran pertama adalah Rp320.000,00.

b. Besar angsuran ke-5 (a5)
Dalam sistem anuitas, besar angsuran akan menurun seiring waktu karena pokok pinjaman yang tersisa semakin kecil. Rumus untuk angsuran ke-n adalah:
an = P * i * (1 + i)^(n-1) / ((1 + i)^n - 1) * (1+i)^(-1)
Atau lebih mudahnya, kita bisa menggunakan hubungan anuitas dan angsuran:
an = A - bn

Kita perlu mencari bunga ke-5 (b5) terlebih dahulu. Untuk itu, kita perlu mencari sisa pokok pinjaman setelah pembayaran ke-4 (sisa P4).
Kita juga bisa mencari angsuran ke-n dengan rumus:
an = a1 * (1+i)^(-1)

Mari kita gunakan rumus angsuran:
an = P * i * (1 + i)^(n-1) / ((1 + i)^n - 1)
Kita belum tahu n (jumlah total periode pembayaran). Mari kita cari n terlebih dahulu dari rumus anuitas:
400.000 = 4.000.000 * [0.02 * (1 + 0.02)^n] / [(1 + 0.02)^n - 1]
0.1 = [0.02 * (1.02)^n] / [(1.02)^n - 1]
0.1 * ((1.02)^n - 1) = 0.02 * (1.02)^n
0.1 * (1.02)^n - 0.1 = 0.02 * (1.02)^n
0.08 * (1.02)^n = 0.1
(1.02)^n = 0.1 / 0.08 = 1.25
n * log(1.02) = log(1.25)
n = log(1.25) / log(1.02) ≈ 0.0969 / 0.0086 ≈ 11.26. Karena n harus bilangan bulat, ada kemungkinan pembulatan atau soal ini sedikit rumit.

Jika kita asumsikan soal ini menggunakan tabel anuitas atau cara lain yang lebih langsung:
Angsuran ke-n = Anuitas - Bunga ke-n
Bunga ke-n = Sisa Pokok Pinjaman sebelum periode n * i

Mari kita hitung sisa pokok pinjaman secara bertahap untuk menemukan angsuran ke-5.
Sisa Pokok Pinjaman setelah pembayaran ke-n (Sn) = P(1+i)^n - A * [((1+i)^n - 1) / i]

Atau, kita bisa gunakan rumus: sisa pokok pinjaman sebelum pembayaran ke-n adalah P(n-1) = P(1+i)^(n-1) - A [((1+i)^(n-1) - 1)/i].

Cara yang lebih mudah adalah dengan menghitung sisa pokok pinjaman.
Sisa Pokok Pinjaman setelah pembayaran ke-4 (S4) = P(1+i)^4 - A * [((1+i)^4 - 1) / i]
(1.02)^4 ≈ 1.082432
S4 = 4.000.000 * (1.082432) - 400.000 * [(1.082432 - 1) / 0.02]
S4 = 4.329.728 - 400.000 * [0.082432 / 0.02]
S4 = 4.329.728 - 400.000 * 4.1216
S4 = 4.329.728 - 1.648.640 = 2.681.088

Bunga ke-5 (b5) = S4 * i = 2.681.088 * 0.02 = 53.621,76

Angsuran ke-5 (a5) = A - b5 = 400.000 - 53.621,76 = 346.378,24.

Jadi, besar angsuran ke-5 adalah Rp346.378,24.

c. Besar bunga ke-5
Seperti yang sudah dihitung di atas untuk mencari angsuran ke-5:
Besar bunga ke-5 (b5) = Sisa Pokok Pinjaman setelah pembayaran ke-4 * suku bunga
b5 = Rp2.681.088 * 0.02 = Rp53.621,76.

Jadi, besar bunga ke-5 adalah Rp53.621,76.