Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m=40+n. Nilai

320

Pembahasan

Diketahui hubungan antara dua bilangan bulat m dan n adalah 2m = 40 + n. Kita ingin mencari nilai minimum dari p = m^2 + n^2.

Dari hubungan 2m = 40 + n, kita dapat menyatakan n dalam bentuk m:
n = 2m - 40

Substitusikan nilai n ke dalam persamaan p:
p = m^2 + (2m - 40)^2
p = m^2 + (4m^2 - 160m + 1600)
p = 5m^2 - 160m + 1600

Persamaan p ini adalah fungsi kuadrat dari m yang berbentuk parabola terbuka ke atas (karena koefisien m^2 positif). Nilai minimum p akan tercapai pada titik puncak parabola.

Untuk mencari nilai minimum, kita bisa menggunakan turunan pertama terhadap m dan menyamakannya dengan nol, atau menggunakan rumus sumbu simetri parabola.

Menggunakan turunan:
dp/dm = 10m - 160
Samakan turunan dengan nol untuk mencari nilai kritis:
10m - 160 = 0
10m = 160
m = 16

Substitusikan nilai m = 16 kembali ke dalam persamaan n:
n = 2m - 40
n = 2(16) - 40
n = 32 - 40
n = -8

Sekarang, hitung nilai minimum p menggunakan m = 16 dan n = -8:
p = m^2 + n^2
p = (16)^2 + (-8)^2
p = 256 + 64
p = 320

Menggunakan rumus sumbu simetri (m = -b / 2a) untuk fungsi kuadrat p = 5m^2 - 160m + 1600:
a = 5, b = -160
m = -(-160) / (2 * 5)
m = 160 / 10
m = 16

Kemudian substitusikan m = 16 ke dalam persamaan p untuk mendapatkan nilai minimum:
p = 5(16)^2 - 160(16) + 1600
p = 5(256) - 2560 + 1600
p = 1280 - 2560 + 1600
p = 320

Jadi, nilai minimum dari p = m^2 + n^2 adalah 320.