Dua buah dadu dilemparkan secara setimbang. Dua dadu

a. P(X=3) ≈ 0.00153, b. P(X>3) ≈ 0.0000455, c. P(2<=X<=4) ≈ 0.02757

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan distribusi binomial, yang digunakan untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil (sukses atau gagal) dengan probabilitas yang konstan.

Dalam kasus ini:
- Percobaan: Pelemparan dua dadu.
- Keberhasilan: Jumlah angka yang keluar adalah 3.
- Peluang sukses (p): Ada dua pasangan hasil yang menghasilkan jumlah 3, yaitu (1, 2) dan (2, 1). Jumlah total kemungkinan hasil dari pelemparan dua dadu adalah 6 x 6 = 36. Jadi, p = 2/36 = 1/18.
- Peluang gagal (q): q = 1 - p = 1 - 1/18 = 17/18.
- Jumlah percobaan (n): Lima kali pelemparan, jadi n = 5.

Rumus distribusi binomial adalah P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), di mana C(n, k) adalah koefisien binomial (n pilih k).

a. Peluang berhasil sebanyak tiga kali (k=3):
P(X=3) = C(5, 3) * (1/18)^3 * (17/18)^(5-3)
P(X=3) = C(5, 3) * (1/18)^3 * (17/18)^2
C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10
P(X=3) = 10 * (1/18)^3 * (17/18)^2
P(X=3) = 10 * (1 / 5832) * (289 / 324)
P(X=3) = 10 * 289 / (5832 * 324)
P(X=3) = 2890 / 1889568
P(X=3) ≈ 0.00153

b. Peluang berhasil lebih dari tiga kali (k=4 atau k=5):
P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5)

P(X=4) = C(5, 4) * (1/18)^4 * (17/18)^(5-4)
P(X=4) = 5 * (1/18)^4 * (17/18)^1
P(X=4) = 5 * (1 / 104976) * (17 / 18)
P(X=4) = 85 / 1889568
P(X=4) ≈ 0.000045

P(X=5) = C(5, 5) * (1/18)^5 * (17/18)^(5-5)
P(X=5) = 1 * (1/18)^5 * (17/18)^0
P(X=5) = 1 * (1 / 1889568) * 1
P(X=5) = 1 / 1889568
P(X=5) ≈ 0.00000053

P(X > 3) = (85 / 1889568) + (1 / 1889568) = 86 / 1889568 ≈ 0.0000455

c. Peluang berhasil minimum dua kali dan maksimum empat kali (2 <= k <= 4):
P(2 <= X <= 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=2) = C(5, 2) * (1/18)^2 * (17/18)^(5-2)
P(X=2) = 10 * (1/324) * (17/18)^3
P(X=2) = 10 * (1/324) * (4913 / 5832)
P(X=2) = 49130 / 1889568
P(X=2) ≈ 0.026

P(2 <= X <= 4) = (49130 / 1889568) + (2890 / 1889568) + (85 / 1889568)
P(2 <= X <= 4) = 52105 / 1889568
P(2 <= X <= 4) ≈ 0.02757

Ringkasan:
a. Peluang berhasil sebanyak tiga kali: 2890 / 1889568
b. Peluang berhasil lebih dari tiga kali: 86 / 1889568
c. Peluang berhasil minimum dua kali dan maksimum empat kali: 52105 / 1889568