Tentukan persamaan garis singgung (g) lingkaran jika

Persamaan garis singgungnya adalah $4x - 2y - 16 \pm 8\sqrt{5} = 0$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ yang sejajar dengan garis $4x - 2y - 7 = 0$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Temukan pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, atau $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
    Dari persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$, kita dapatkan:
    Pusat $(a, b) = (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) = (-\frac{-6}{2}, -\frac{4}{2}) = (3, -2)$.
    Jari-jari $r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 - (-3)} = \sqrt{9 + 4 + 3} = \sqrt{16} = 4$.

2.  **Tentukan gradien garis singgung:**
    Garis singgung sejajar dengan garis $4x - 2y - 7 = 0$. Kita ubah persamaan garis ini ke bentuk $y = mx + c$ untuk menemukan gradiennya:
    $2y = 4x - 7$
    $y = 2x - \frac{7}{2}$
    Jadi, gradien garis singgung ($m_s$) adalah 2.

3.  **Gunakan rumus persamaan garis singgung:**
    Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ yang memiliki gradien $m_s$ adalah $y - b = m_s(x - a) \pm r\sqrt{1 + m_s^2}$.
    Substitusikan nilai pusat $(a, b) = (3, -2)$, gradien $m_s = 2$, dan jari-jari $r = 4$:
    $y - (-2) = 2(x - 3) \pm 4\sqrt{1 + 2^2}$
    $y + 2 = 2(x - 3) \pm 4\sqrt{1 + 4}$
    $y + 2 = 2x - 6 \pm 4\sqrt{5}$

4.  **Sederhanakan persamaan:**
    $y = 2x - 6 - 2 \pm 4\sqrt{5}$
    $y = 2x - 8 \pm 4\sqrt{5}$

    Dua persamaan garis singgung adalah:
    a) $y = 2x - 8 + 4\sqrt{5}$
    b) $y = 2x - 8 - 4\sqrt{5}$

    Dalam bentuk implisit $Ax + By + C = 0$:
    a) $2x - y - 8 + 4\sqrt{5} = 0$
    b) $2x - y - 8 - 4\sqrt{5} = 0$

    Namun, pertanyaan meminta persamaan garis singgung $(g)$ lingkaran jika sejajar garis $4x - 2y - 7 = 0$. Gradien garis singgung harus sama dengan gradien garis $4x - 2y - 7 = 0$, yaitu $m=2$. Persamaan garis singgung yang sejajar dengan $4x - 2y - 7 = 0$ akan memiliki bentuk $4x - 2y + C' = 0$ atau $2x - y + C'' = 0$.

    Menggunakan rumus $y = mx + c \pm r\sqrt{1+m^2}$ untuk lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dengan gradien m.
    Untuk persamaan $x^2+y^2-6x+4y-3=0$, pusatnya $(3,-2)$ dan $r=4$. Persamaan garis singgung yang bergradien $m=2$ adalah:
    $(y - (-2)) = 2(x - 3) \pm 4\sqrt{1 + 2^2}$
    $y + 2 = 2x - 6 \pm 4\sqrt{5}$
    $y = 2x - 8 \pm 4\sqrt{5}$
    
    Jika kita ingin dalam bentuk $4x - 2y + C = 0$, kita dapat menulis ulang $y = 2x - 8 \pm 4\sqrt{5}$ menjadi:
    $2y = 4x - 16 \pm 8\sqrt{5}$
    $4x - 2y - 16 \pm 8\sqrt{5} = 0$
    Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x - 2y - 16 + 8\sqrt{5} = 0$ dan $4x - 2y - 16 - 8\sqrt{5} = 0$.