Dua buah lingkaran saling beririsan. Lingkaran pertama

5

Pembahasan

Diketahui:
Lingkaran pertama berpusat di A dengan jari-jari r1.
Lingkaran kedua berpusat di B dengan jari-jari r2 = 5.
Diketahui r1 > r2.
Garis CD adalah garis perpotongan kedua lingkaran.
Garis CD adalah diameter lingkaran kedua.
Luas daerah yang beririsan = 49,74 satuan luas.
Besar sudut CAD = 90 derajat.

Karena garis CD adalah diameter lingkaran kedua, maka panjang CD = 2 * r2 = 2 * 5 = 10.
Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka pusat lingkaran kedua (B) terletak pada titik tengah CD.
Karena sudut CAD = 90 derajat, maka segitiga CAD adalah segitiga siku-siku.
Luas daerah yang beririsan adalah luas tembereng pada kedua lingkaran. Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka luas tembereng pada lingkaran kedua adalah setengah luas lingkaran kedua.
Luas lingkaran kedua = \pi * r2^2 = \pi * 5^2 = 25\pi.
Setengah luas lingkaran kedua = (1/2) * 25\pi = 12.5\pi \approx 39,27.

Luas daerah yang beririsan = Luas juring CAD (pada lingkaran pertama) - Luas segitiga CAD + Luas tembereng pada lingkaran kedua.
Luas tembereng pada lingkaran kedua = Luas lingkaran kedua / 2 = 39,27.

Luas daerah yang beririsan = Luas juring CAD - Luas segitiga CAD + Luas tembereng lingkaran kedua
49,74 = Luas juring CAD - Luas segitiga CAD + 39,27
Luas juring CAD - Luas segitiga CAD = 49,74 - 39,27
Luas tembereng pada lingkaran pertama = 10,47

Luas tembereng = (Sudut sektor / 360) * \pi * r^2 - (1/2) * r^2 * sin(Sudut sektor)
Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka jarak antara pusat A dan B adalah 0 jika A dan B berimpit. Namun, jika lingkaran beririsan, pusatnya tidak berimpit. Jika CD adalah diameter lingkaran kedua, maka B adalah titik tengah CD.
Karena sudut CAD = 90 derajat, dan CD adalah diameter lingkaran kedua, maka titik A harus berada pada lingkaran kedua. Ini berarti jarak AB = r2 = 5.

Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka titik C dan D berada pada keliling lingkaran kedua, dan B adalah pusatnya. Jari-jari r2 = 5.
Karena sudut CAD = 90 derajat, ini mengacu pada sudut di dalam lingkaran pertama.
Jika CD adalah diameter lingkaran kedua, maka titik B ada di tengah CD. Jika sudut CAD = 90, maka A adalah titik pada keliling lingkaran kedua.
Jarak AB = r2 = 5.

Luas daerah beririsan = Luas juring ACB (di lingkaran pertama) - Luas segitiga ACB + Luas juring BCD (di lingkaran kedua) - Luas segitiga BCD
Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka luas tembereng lingkaran kedua adalah setengah luas lingkaran kedua = 1/2 * \pi * r2^2 = 1/2 * \pi * 5^2 = 12.5\pi \approx 39.27.

Luas daerah beririsan = Luas juring CAD (pada lingkaran pertama) - Luas segitiga CAD + Luas tembereng pada lingkaran kedua
49.74 = Luas juring CAD - Luas segitiga CAD + 39.27
Luas juring CAD - Luas segitiga CAD = 10.47

Luas tembereng pada lingkaran pertama = 10.47
Luas tembereng = (\theta / 360) * \pi * r1^2 - (1/2) * r1^2 * sin(\theta)

Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, dan sudut CAD = 90, maka A berada pada keliling lingkaran kedua. Dengan demikian, jarak AB = r2 = 5.
Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, titik B berada di tengah CD.
Segitiga CAD siku-siku di A.
Dalam lingkaran kedua, CD adalah diameter. Sudut keliling yang menghadap diameter adalah 90 derajat. Namun, sudut CAD adalah sudut yang dibentuk oleh jari-jari CA dan AD pada pusat lingkaran pertama (A).

Kita perlu menggunakan informasi bahwa CD adalah diameter lingkaran kedua, yang berarti r2 = 5. Luas beririsan adalah 49.74.
Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka pusat B terletak di tengah CD. Jari-jari r2 = 5.
Sudut CAD = 90 derajat. Ini adalah sudut pusat di lingkaran pertama.
Luas daerah beririsan adalah jumlah dari dua segmen lingkaran.
Segmen 1 (di lingkaran pertama): D_seg1 = Luas Juring CAD - Luas Segitiga CAD
Segmen 2 (di lingkaran kedua): D_seg2 = Luas Juring CBD - Luas Segitiga CBD

Karena CD adalah diameter lingkaran kedua, maka titik B adalah pusat lingkaran kedua. Sudut CBD adalah sudut pusat yang menghadap busur CD. Karena CD adalah diameter, maka sudut CBD = 180 derajat. Luas segitiga CBD = 0 karena C, B, D segaris.
Luas segmen lingkaran kedua = Luas setengah lingkaran = 1/2 * \pi * r2^2 = 1/2 * \pi * 5^2 = 12.5\pi \approx 39.27.

Luas daerah beririsan = Luas segmen lingkaran pertama + Luas segmen lingkaran kedua
49.74 = Luas segmen lingkaran pertama + 39.27
Luas segmen lingkaran pertama = 49.74 - 39.27 = 10.47.

Luas segmen lingkaran pertama = Luas Juring CAD - Luas Segitiga CAD
10.47 = (90/360) * \pi * r1^2 - (1/2) * r1^2 * sin(90)
10.47 = (1/4) * \pi * r1^2 - (1/2) * r1^2 * 1
10.47 = r1^2 * (\pi/4 - 1/2)
10.47 = r1^2 * (3.14159/4 - 0.5)
10.47 = r1^2 * (0.7854 - 0.5)
10.47 = r1^2 * 0.2854
r1^2 = 10.47 / 0.2854 
r1^2 \approx 36.685
r1 \approx 6.057

Soal meminta nilai r2. Diketahui r2=5. Mungkin ada kesalahan dalam memahami soal atau soal tersebut sudah memberikan nilai r2.