f(x)=(cos x)/(sin x -2), 0<=x<=2pi tentukan: a. Selang di

Naik pada $(\pi/6, 5\pi/6)$, turun pada $[0, \pi/6) \cup (5\pi/6, 2\pi]$. Titik stasioner: minimum di $(\pi/6, -\sqrt{3}/3)$, maksimum di $(5\pi/6, \sqrt{3}/3)$.

Pembahasan

Untuk fungsi $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x - 2}$: 
 a. Selang fungsi naik dan turun:
 Turunan pertama fungsi ini adalah $f'(x) = \frac{-\sin x(\sin x - 2) - \cos x(\cos x)}{(\sin x - 2)^2} = \frac{-\sin^2 x + 2\sin x - \cos^2 x}{(\sin x - 2)^2} = \frac{-1 + 2\sin x}{(\sin x - 2)^2}$. 
 Fungsi naik ketika $f'(x) > 0$. Karena $(\sin x - 2)^2$ selalu positif dan $\sin x - 2$ selalu negatif, maka $-1 + 2\sin x > 0$, yang berarti $\sin x > \frac{1}{2}$. Ini terjadi pada selang $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. 
 Fungsi turun ketika $f'(x) < 0$, yang berarti $\sin x < \frac{1}{2}$. Ini terjadi pada selang $[0, \frac{\pi}{6})$ dan $(\frac{5\pi}{6}, 2\pi]$.
 b. Titik stasioner:
 Titik stasioner terjadi ketika $f'(x) = 0$, yaitu ketika $-1 + 2\sin x = 0$ atau $\sin x = \frac{1}{2}$. Ini terjadi pada $x = \frac{\pi}{6}$ dan $x = \frac{5\pi}{6}$. 
 Jenis titik stasioner:
 Di $x = \frac{\pi}{6}$, fungsi berubah dari turun ke naik, sehingga merupakan titik minimum lokal. Nilai fungsinya adalah $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6) - 2} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2 - 2} = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
 Di $x = \frac{5\pi}{6}$, fungsi berubah dari naik ke turun, sehingga merupakan titik maksimum lokal. Nilai fungsinya adalah $f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{\cos(5\pi/6)}{\sin(5\pi/6) - 2} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2 - 2} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
c. Sketsa grafik: Grafik akan menunjukkan fungsi turun dari $x=0$ ke $x=\pi/6$, naik dari $x=\pi/6$ ke $x=5\pi/6$, dan turun lagi dari $x=5\pi/6$ ke $x=2\pi$. Terdapat titik minimum lokal di $(\pi/6, -\sqrt{3}/3)$ dan titik maksimum lokal di $(5\pi/6, \sqrt{3}/3)$. Terdapat asimtot tegak pada $\sin x = 2$, yang tidak terjadi dalam interval $0 \leq x \leq 2\pi$.