Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 9Kelas 10mathAljabar

Faktorkan suku banyak x^3-11x^2+30x-8 atas faktor rasional.

Pertanyaan

Faktorkan suku banyak x^3-11x^2+30x-8 atas faktor rasional.

Solusi

Verified

Faktorisasi suku banyak x^3-11x^2+30x-8 adalah (x - 4)(x^2 - 7x + 2).

Pembahasan

Untuk memfaktorkan suku banyak x^3 - 11x^2 + 30x - 8, kita dapat menggunakan Teorema Faktor. Teorema Faktor menyatakan bahwa jika (x - a) adalah faktor dari suku banyak P(x), maka P(a) = 0. Kita perlu mencari faktor rasional dari konstanta -8, yaitu ±1, ±2, ±4, ±8. Mari kita coba beberapa nilai: P(1) = (1)^3 - 11(1)^2 + 30(1) - 8 = 1 - 11 + 30 - 8 = 12 ≠ 0 P(-1) = (-1)^3 - 11(-1)^2 + 30(-1) - 8 = -1 - 11 - 30 - 8 = -50 ≠ 0 P(2) = (2)^3 - 11(2)^2 + 30(2) - 8 = 8 - 11(4) + 60 - 8 = 8 - 44 + 60 - 8 = 16 ≠ 0 P(-2) = (-2)^3 - 11(-2)^2 + 30(-2) - 8 = -8 - 11(4) - 60 - 8 = -8 - 44 - 60 - 8 = -120 ≠ 0 P(4) = (4)^3 - 11(4)^2 + 30(4) - 8 = 64 - 11(16) + 120 - 8 = 64 - 176 + 120 - 8 = 0 Karena P(4) = 0, maka (x - 4) adalah salah satu faktornya. Selanjutnya, kita dapat menggunakan pembagian sintetik atau pembagian polinomial untuk mencari faktor lainnya: (x^3 - 11x^2 + 30x - 8) / (x - 4) Menggunakan pembagian sintetik dengan akar 4: 4 | 1 -11 30 -8 | 4 -28 8 ----------------- 1 -7 2 0 Hasil pembagiannya adalah x^2 - 7x + 2. Jadi, suku banyak x^3 - 11x^2 + 30x - 8 dapat difaktorkan menjadi (x - 4)(x^2 - 7x + 2). Karena x^2 - 7x + 2 tidak dapat difaktorkan lebih lanjut dengan faktor rasional (diskriminannya adalah (-7)^2 - 4(1)(2) = 49 - 8 = 41, yang bukan kuadrat sempurna), maka faktor rasionalnya adalah (x - 4). Namun, jika pertanyaan mengacu pada semua faktor, termasuk yang mungkin irasional, maka kita perlu mencari akar dari x^2 - 7x + 2 menggunakan rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a x = [7 ± sqrt((-7)^2 - 4(1)(2))] / 2(1) x = [7 ± sqrt(49 - 8)] / 2 x = [7 ± sqrt(41)] / 2 Sehingga faktor-faktornya adalah (x - 4), (x - (7 + sqrt(41))/2), dan (x - (7 - sqrt(41))/2). Jika yang dimaksud adalah faktor dengan koefisien rasional, maka jawabannya adalah (x - 4)(x^2 - 7x + 2). Faktorisasi suku banyak x^3-11x^2+30x-8 atas faktor rasional adalah (x - 4)(x^2 - 7x + 2).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Suku Banyak
Section: Teorema Faktor

Apakah jawaban ini membantu?