Faktorkan suku banyak x^3-11x^2+30x-8 atas faktor rasional.

Faktorisasi suku banyak x^3-11x^2+30x-8 adalah (x - 4)(x^2 - 7x + 2).

Pembahasan

Untuk memfaktorkan suku banyak x^3 - 11x^2 + 30x - 8, kita dapat menggunakan Teorema Faktor. Teorema Faktor menyatakan bahwa jika (x - a) adalah faktor dari suku banyak P(x), maka P(a) = 0.

Kita perlu mencari faktor rasional dari konstanta -8, yaitu ±1, ±2, ±4, ±8.
Mari kita coba beberapa nilai:

P(1) = (1)^3 - 11(1)^2 + 30(1) - 8 = 1 - 11 + 30 - 8 = 12 ≠ 0
P(-1) = (-1)^3 - 11(-1)^2 + 30(-1) - 8 = -1 - 11 - 30 - 8 = -50 ≠ 0
P(2) = (2)^3 - 11(2)^2 + 30(2) - 8 = 8 - 11(4) + 60 - 8 = 8 - 44 + 60 - 8 = 16 ≠ 0
P(-2) = (-2)^3 - 11(-2)^2 + 30(-2) - 8 = -8 - 11(4) - 60 - 8 = -8 - 44 - 60 - 8 = -120 ≠ 0
P(4) = (4)^3 - 11(4)^2 + 30(4) - 8 = 64 - 11(16) + 120 - 8 = 64 - 176 + 120 - 8 = 0

Karena P(4) = 0, maka (x - 4) adalah salah satu faktornya.

Selanjutnya, kita dapat menggunakan pembagian sintetik atau pembagian polinomial untuk mencari faktor lainnya:

(x^3 - 11x^2 + 30x - 8) / (x - 4)

Menggunakan pembagian sintetik dengan akar 4:
4 | 1  -11   30   -8
  |    4  -28    8
  -----------------
    1   -7    2    0

Hasil pembagiannya adalah x^2 - 7x + 2.

Jadi, suku banyak x^3 - 11x^2 + 30x - 8 dapat difaktorkan menjadi (x - 4)(x^2 - 7x + 2).

Karena x^2 - 7x + 2 tidak dapat difaktorkan lebih lanjut dengan faktor rasional (diskriminannya adalah (-7)^2 - 4(1)(2) = 49 - 8 = 41, yang bukan kuadrat sempurna), maka faktor rasionalnya adalah (x - 4).

Namun, jika pertanyaan mengacu pada semua faktor, termasuk yang mungkin irasional, maka kita perlu mencari akar dari x^2 - 7x + 2 menggunakan rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [7 ± sqrt((-7)^2 - 4(1)(2))] / 2(1)
x = [7 ± sqrt(49 - 8)] / 2
x = [7 ± sqrt(41)] / 2

Sehingga faktor-faktornya adalah (x - 4), (x - (7 + sqrt(41))/2), dan (x - (7 - sqrt(41))/2).

Jika yang dimaksud adalah faktor dengan koefisien rasional, maka jawabannya adalah (x - 4)(x^2 - 7x + 2).

Faktorisasi suku banyak x^3-11x^2+30x-8 atas faktor rasional adalah (x - 4)(x^2 - 7x + 2).