Fungsi f dan g didefinisikan sebagai berikut:f : x -> x - 1

g(f(x)) = 2x^2 + x - 1; persamaan g(f(x))=0 memiliki dua akar berbeda karena diskriminannya positif (D=9); batas x yang memenuhi 3g(x) - 10f(x) - 22 > 0 adalah x < -3/2 atau x > 2/3.

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x - 1 dan g(x) = 2x^2 + 5x + 2.

a. Menunjukkan (g o f)(x) = 2x^2 + x - 1:
Komposisi fungsi (g o f)(x) berarti kita substitusikan f(x) ke dalam g(x). Jadi, kita ganti setiap 'x' pada g(x) dengan (x - 1).

(g o f)(x) = g(f(x))
= g(x - 1)
= 2(x - 1)^2 + 5(x - 1) + 2
= 2(x^2 - 2x + 1) + 5x - 5 + 2
= 2x^2 - 4x + 2 + 5x - 3
= 2x^2 + (-4x + 5x) + (2 - 3)
= 2x^2 + x - 1

Terbukti bahwa (g o f)(x) = 2x^2 + x - 1.

b. Menunjukkan persamaan g(f(x)) = 0 mempunyai dua akar yang berbeda:
Dari bagian (a), kita tahu bahwa g(f(x)) = 2x^2 + x - 1. Untuk mencari akar-akarnya, kita selesaikan persamaan 2x^2 + x - 1 = 0.

Kita dapat menggunakan rumus diskriminan (D) dari persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0, yaitu D = b^2 - 4ac. Jika D > 0, maka persamaan memiliki dua akar yang berbeda.

Dalam persamaan 2x^2 + x - 1 = 0, kita punya a = 2, b = 1, dan c = -1.

D = (1)^2 - 4(2)(-1)
D = 1 - (-8)
D = 1 + 8
D = 9

Karena D = 9 > 0, maka persamaan g(f(x)) = 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

c. Menentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan 3g(x) - 10f(x) - 22 > 0:
Pertama, kita substitusikan fungsi g(x) dan f(x) ke dalam pertidaksamaan:
3(2x^2 + 5x + 2) - 10(x - 1) - 22 > 0

Kemudian, kita distribusikan dan sederhanakan:
6x^2 + 15x + 6 - 10x + 10 - 22 > 0
6x^2 + (15x - 10x) + (6 + 10 - 22) > 0
6x^2 + 5x - 6 > 0

Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 6x^2 + 5x - 6 = 0 menggunakan rumus kuadrat atau pemfaktoran.

Menggunakan pemfaktoran:
Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya 6 * -6 = -36 dan hasil jumlahnya 5. Bilangan tersebut adalah 9 dan -4.

6x^2 + 9x - 4x - 6 > 0
3x(2x + 3) - 2(2x + 3) > 0
(3x - 2)(2x + 3) > 0

Akar-akarnya adalah ketika (3x - 2) = 0 atau (2x + 3) = 0.
3x = 2  => x = 2/3
2x = -3 => x = -3/2

Karena pertidaksamaannya adalah " > 0 " (lebih besar dari nol), maka kita mencari daerah di mana nilai fungsi kuadrat positif. Grafik parabola y = 6x^2 + 5x - 6 terbuka ke atas (karena koefisien x^2 positif). Oleh karena itu, nilai fungsi positif berada di luar akar-akarnya.

Jadi, batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan adalah x < -3/2 atau x > 2/3.