Fungsi f: R -> R ditentukan dengan rumus f(x)=(x+1)^2 a.

a. Domain: {x | x ≤ -1, x ∈ R} atau {x | x ≥ -1, x ∈ R}, Kodomain: [0, ∞). b. f⁻¹(x) = -1 - √x

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menentukan syarat agar fungsi f(x) = (x+1)² memiliki fungsi invers, dan kemudian mencari rumus fungsi inversnya untuk domain tertentu.

a. Menentukan Daerah Asal dan Daerah Kawan agar Fungsi Mempunyai Fungsi Invers:
Agar sebuah fungsi mempunyai fungsi invers, fungsi tersebut harus bersifat bijektif (satu-satu dan onto).

Fungsi f(x) = (x+1)² adalah fungsi kuadrat. Grafik fungsi ini adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncak di (-1, 0).

Sifat satu-satu (injektif) berarti setiap elemen di kodomain dipetakan oleh paling banyak satu elemen di domain. Fungsi kuadrat standar tidak bersifat satu-satu karena nilai f(x) yang sama dapat dihasilkan oleh dua nilai x yang berbeda (misalnya, f(0) = 1 dan f(-2) = 1).

Sifat onto (surjektif) berarti setiap elemen di kodomain dipetakan oleh setidaknya satu elemen di domain. Untuk f(x) = (x+1)², rentang (range) fungsi ini adalah [0, ∞) karena kuadrat selalu non-negatif.

Agar f(x) = (x+1)² bersifat satu-satu, kita perlu membatasi domainnya sehingga hanya mencakup satu sisi dari sumbu simetri parabola (x = -1). Pilihan yang umum adalah mengambil domain di mana x ≥ -1 atau x ≤ -1.

Agar fungsi bersifat onto (memiliki invers), kodomainnya harus sama dengan rentangnya. Rentang dari f(x) = (x+1)² adalah [0, ∞).

Jadi, agar fungsi f(x) = (x+1)² mempunyai fungsi invers:
1. Daerah Asal (Domain) harus dibatasi agar fungsi bersifat satu-satu. Misalnya, Domain = {x | x ≥ -1, x ∈ R} atau Domain = {x | x ≤ -1, x ∈ R}.
2. Daerah Kawan (Kodomain) harus sama dengan rentang fungsi. Jadi, Kodomain = {y | y ≥ 0, y ∈ R} atau Kodomain = [0, ∞).

b. Mencari Rumus Fungsi Invers f⁻¹(x) untuk Daerah Asal {x | x ≤ -1, x ∈ R}:

Diketahui:
f(x) = (x+1)²
Daerah Asal (Domain) = {x | x ≤ -1, x ∈ R}
Daerah Kawan (Kodomain) = {y | y ≥ 0, y ∈ R} (karena rentangnya adalah [0, ∞))

Untuk mencari invers, kita ganti f(x) dengan y:
y = (x+1)²

Kemudian, kita tukar variabel x dan y:
x = (y+1)²

Sekarang, kita selesaikan persamaan ini untuk y:
Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
±√x = y + 1

Kurangi 1 dari kedua sisi:
y = -1 ± √x

Kita perlu memilih tanda yang tepat berdasarkan daerah asal fungsi asli.
Daerah asal asli adalah x ≤ -1. Ini berarti nilai input ke fungsi asli adalah -1 atau lebih kecil.

Ketika kita mencari invers, nilai output dari fungsi asli (y ≥ 0) menjadi input untuk fungsi invers (x ≥ 0).
Nilai output dari fungsi invers (y) harus sesuai dengan nilai input dari fungsi asli (x ≤ -1).

Dari y = -1 ± √x:
Jika kita menggunakan tanda '+', kita mendapatkan y = -1 + √x. Karena √x selalu non-negatif, nilai y akan selalu ≥ -1. Ini tidak sesuai dengan domain asli (x ≤ -1) yang akan menjadi kodomain invers.

Jika kita menggunakan tanda '-', kita mendapatkan y = -1 - √x. Karena √x selalu non-negatif, -√x akan selalu non-positif. Jadi, -1 - √x akan selalu ≤ -1. Nilai-nilai ini sesuai dengan daerah asal asli x ≤ -1.

Oleh karena itu, rumus fungsi inversnya adalah:
f⁻¹(x) = -1 - √x

Dengan daerah asal untuk f⁻¹(x) adalah {x | x ≥ 0, x ∈ R} (yang merupakan kodomain asli f(x)), dan daerah kawan untuk f⁻¹(x) adalah {y | y ≤ -1, y ∈ R} (yang merupakan domain asli f(x)).