Fungsi f(x)=akar((x^2-5x)/(1-x)) terdefinisi dalam daerah

\(x \in (-\infty, 0] \cup (1, 5]\)

Pembahasan

Fungsi \(f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 5x}{1 - x}}\)
Agar fungsi ini terdefinisi, dua syarat utama harus dipenuhi:

1.  **Ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan nol):**
    \(\frac{x^2 - 5x}{1 - x} \ge 0\)
    Kita faktorkan pembilang: \(x(x-5) \ge 0\)
    Sekarang kita punya pertidaksamaan:
    \(\frac{x(x-5)}{1 - x} \ge 0\)

    Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional ini, kita cari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut:
    *   Pembilang: \(x = 0\) dan \(x = 5\)
    *   Penyebut: \(1 - x = 0 \implies x = 1\)

    Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini (0, 1, 5) pada garis bilangan:

    *   **Interval x < 0:** Pilih \(x = -1\). \(\frac{(-1)(-1-5)}{1 - (-1)} = \frac{(-1)(-6)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \ge 0\) (Benar)
    *   **Interval 0 < x < 1:** Pilih \(x = 0.5\). \(\frac{(0.5)(0.5-5)}{1 - 0.5} = \frac{(0.5)(-4.5)}{0.5} = -4.5 \ge 0\) (Salah)
    *   **Interval 1 < x < 5:** Pilih \(x = 2\). \(\frac{(2)(2-5)}{1 - 2} = \frac{(2)(-3)}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6 \ge 0\) (Benar)
    *   **Interval x > 5:** Pilih \(x = 6\). \(\frac{(6)(6-5)}{1 - 6} = \frac{(6)(1)}{-5} = \frac{6}{-5} = -1.2 \ge 0\) (Salah)

    Dari pengujian ini, solusi untuk \(\frac{x(x-5)}{1 - x} \ge 0\) adalah \(x \in (-\infty, 0] \cup (1, 5]\). Perhatikan bahwa \(x=0\) dan \(x=5\) termasuk karena pertidaksamaan \(\ge\), sedangkan \(x=1\) tidak termasuk karena menyebabkan penyebut nol.

2.  **Penyebut tidak boleh nol:**
    \(1 - x \ne 0 \implies x \ne 1\)
    Syarat ini sudah kita perhitungkan saat mencari interval pada poin 1.

Menggabungkan kedua syarat tersebut, daerah terdefinisi untuk fungsi \(f(x)\) adalah \(x \in (-\infty, 0] \cup (1, 5]\).