Fungsi f(x)=(x-2)^3 (2x-1) turun pada interval ....

(-∞, 7/8)

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = (x-2)³(2x-1) turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut (f'(x)) dan menentukan kapan f'(x) < 0.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan perkalian.
Misalkan u = (x-2)³ dan v = (2x-1).
Maka, u' = 3(x-2)²(1) = 3(x-2)² dan v' = 2.

f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = [3(x-2)²](2x-1) + [(x-2)³](2)

Langkah 2: Faktorkan f'(x).
Faktorkan (x-2)² keluar dari kedua suku:
f'(x) = (x-2)² [3(2x-1) + 2(x-2)]
f'(x) = (x-2)² [6x - 3 + 2x - 4]
f'(x) = (x-2)² [8x - 7]

Langkah 3: Tentukan kapan f'(x) < 0.
Kita tahu bahwa (x-2)² selalu non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan 0) untuk semua nilai x.
Agar f'(x) < 0, maka bagian [8x - 7] harus negatif.

8x - 7 < 0
8x < 7
x < 7/8

Namun, kita juga perlu mempertimbangkan bahwa (x-2)² bisa bernilai 0 ketika x=2. Pada titik x=2, f'(x) = 0, yang berarti fungsi tidak turun maupun naik di titik tersebut. Di sekitar x=2, karena (x-2)² selalu positif, tanda f'(x) ditentukan oleh (8x-7).

Jadi, fungsi f(x) turun ketika 8x - 7 < 0, yaitu x < 7/8.

Interval turun adalah (-∞, 7/8).