Fungsi f(x)=x^3-3x^2-15 turun untuk semua x yang

0 < x < 2

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 - 15 turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan pertama bernilai negatif.

Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x).
Dengan menggunakan aturan turunan daya, turunan dari x^3 adalah 3x^2, dan turunan dari -3x^2 adalah -6x. Turunan dari konstanta -15 adalah 0.
Jadi, f'(x) = 3x^2 - 6x.

Fungsi turun ketika f'(x) < 0.
Maka, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan: 3x^2 - 6x < 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita bisa memfaktorkan 3x dari ekspresi:
3x(x - 2) < 0.

Nilai-nilai kritis di mana ekspresi ini sama dengan 0 adalah ketika 3x = 0 atau x - 2 = 0.
Ini memberikan x = 0 dan x = 2.

Sekarang kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai kritis ini: (-∞, 0), (0, 2), dan (2, ∞).

1. Uji interval (-∞, 0): Ambil x = -1.
3(-1)(-1 - 2) = 3(-1)(-3) = 9. Karena 9 > 0, fungsi naik di interval ini.

2. Uji interval (0, 2): Ambil x = 1.
3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3. Karena -3 < 0, fungsi turun di interval ini.

3. Uji interval (2, ∞): Ambil x = 3.
3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9. Karena 9 > 0, fungsi naik di interval ini.

Oleh karena itu, fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 - 15 turun untuk semua x yang memenuhi 0 < x < 2.