Fungsi g(x)=x^3+3 x^2-9 x-7 turun pada interval ....

\((-3, 1)\)

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi \(g(x)=x^3+3x^2-9x-7\) turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan pertama bernilai negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari \(g(x)\).
Turunan dari \(x^n\) adalah \(nx^{n-1}\).
Turunan dari \(x^3\) adalah \(3x^2\).
Turunan dari \(3x^2\) adalah \(3 \times 2x = 6x\).
Turunan dari \(-9x\) adalah \(-9\).
Turunan dari \(-7\) (konstanta) adalah 0.

Jadi, turunan pertama dari \(g(x)\), yang ditulis sebagai \(g'(x)\), adalah:
$$ g'(x) = 3x^2 + 6x - 9 $$

Langkah 2: Tentukan di mana \(g'(x) < 0\) untuk mencari interval penurunan.
Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan \(3x^2 + 6x - 9 < 0\).

Untuk mempermudah, kita bisa membagi seluruh pertidaksamaan dengan 3 (karena 3 adalah bilangan positif, arah pertidaksamaan tidak berubah):
$$ x^2 + 2x - 3 < 0 $$

Langkah 3: Faktorkan ekspresi kuadrat.
Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -3 dan jika dijumlahkan menghasilkan 2. Dua bilangan tersebut adalah 3 dan -1.
Jadi, faktorisasi dari \(x^2 + 2x - 3\) adalah \((x+3)(x-1)\).

Pertidaksamaan menjadi: \((x+3)(x-1) < 0\).

Langkah 4: Tentukan interval di mana hasil perkalian dua faktor negatif.
Nilai-nilai kritis adalah ketika \((x+3)(x-1) = 0\), yaitu saat \(x = -3\) dan \(x = 1\).
Kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai kritis ini: \(x < -3\), \(-3 < x < 1\), dan \(x > 1\).

Uji interval 1: \(x < -3\). Pilih \(x = -4\).
\((-4+3)(-4-1) = (-1)(-5) = 5\). Hasilnya positif (\(> 0\)). Fungsi naik.

Uji interval 2: \(-3 < x < 1\). Pilih \(x = 0\).
\((0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3\). Hasilnya negatif (\(< 0\)). Fungsi turun.

Uji interval 3: \(x > 1\). Pilih \(x = 2\).
\((2+3)(2-1) = (5)(1) = 5\). Hasilnya positif (\(> 0\)). Fungsi naik.

Oleh karena itu, fungsi \(g(x)\) turun pada interval \(-3 < x < 1\).