Fungsi kuadrat y = 2x^2 - 2(p - 4)x + p akan memotong

Fungsi memotong sumbu-X di dua titik berbeda untuk p < 2 atau p > 8.

Pembahasan

Fungsi kuadrat yang diberikan adalah $y = 2x^2 - 2(p - 4)x + p$.

Fungsi kuadrat akan memotong sumbu-X di dua titik berbeda jika diskriminannya ($D$) lebih besar dari nol ($D > 0$).

Diskriminan dari fungsi kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ diberikan oleh rumus $D = b^2 - 4ac$.

Dalam kasus ini, kita punya:
$a = 2$
$b = -2(p - 4)$
$c = p$

Mari kita hitung diskriminannya:
$D = (b)^2 - 4ac$
$D = (-2(p - 4))^2 - 4(2)(p)$
$D = (4(p - 4)^2) - 8p$
$D = 4(p^2 - 8p + 16) - 8p$
$D = 4p^2 - 32p + 64 - 8p$
$D = 4p^2 - 40p + 64$

Agar fungsi memotong sumbu-X di dua titik berbeda, kita harus memiliki $D > 0$:
$4p^2 - 40p + 64 > 0$

Kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan ini dengan membagi semua suku dengan 4:
$p^2 - 10p + 16 > 0$

Sekarang, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat $p^2 - 10p + 16 = 0$ untuk menentukan interval di mana pertidaksamaan ini berlaku.
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
Cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan 16 dan jika dijumlahkan menghasilkan -10. Angka-angka tersebut adalah -2 dan -8.
$(p - 2)(p - 8) = 0$

Akar-akarnya adalah $p = 2$ dan $p = 8$.

Pertidaksamaan $p^2 - 10p + 16 > 0$ berlaku ketika parabola $f(p) = p^2 - 10p + 16$ berada di atas sumbu-p. Karena koefisien $p^2$ adalah positif (1), parabola terbuka ke atas. Oleh karena itu, pertidaksamaan ini benar untuk nilai $p$ di luar akar-akarnya.

Jadi, $p < 2$ atau $p > 8$.

Ini adalah syarat agar fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik berbeda.