Fungsi y=1/3 (a-2)^2 x^3+x^2-5ax mempunyai nilai minimum

3

Pembahasan

Untuk mencari nilai a, kita perlu menggunakan turunan fungsi. Fungsi y = 1/3 (a-2)^2 x^3 + x^2 - 5ax. Nilai minimum terjadi saat turunan pertama sama dengan nol. y' = (a-2)^2 x^2 + 2x - 5a. Karena nilai minimum terjadi pada x=3, maka y'(3) = 0. (a-2)^2 (3)^2 + 2(3) - 5a = 0. 9(a^2 - 4a + 4) + 6 - 5a = 0. 9a^2 - 36a + 36 + 6 - 5a = 0. 9a^2 - 41a + 42 = 0. Kita bisa faktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus ABC. Dengan faktorisasi, (9a - 14)(a - 3) = 0. Maka a = 14/9 atau a = 3. Kita perlu memeriksa nilai minimumnya. Jika a=3, y = 1/3 (3-2)^2 x^3 + x^2 - 5(3)x = 1/3 x^3 + x^2 - 15x. y' = x^2 + 2x - 15. y'(3) = 9 + 6 - 15 = 0. y'' = 2x + 2. y''(3) = 6 + 2 = 8 > 0, yang menunjukkan nilai minimum. Nilai y pada x=3 adalah y = 1/3 (3)^3 + (3)^2 - 15(3) = 9 + 9 - 45 = -27. Ini sesuai dengan soal. Jika a=14/9, y = 1/3 (14/9 - 2)^2 x^3 + x^2 - 5(14/9)x = 1/3 (-4/9)^2 x^3 + x^2 - 70/9 x = 1/3 (16/81)x^3 + x^2 - 70/9 x = 16/243 x^3 + x^2 - 70/9 x. y' = 16/81 x^2 + 2x - 70/9. y'(3) = 16/81 (9) + 2(3) - 70/9 = 16/9 + 6 - 70/9 = -54/9 + 6 = -6 + 6 = 0. y'' = 32/81 x + 2. y''(3) = 32/81 (3) + 2 = 32/27 + 2 > 0. Nilai y pada x=3 adalah y = 16/243 (3)^3 + (3)^2 - 70/9 (3) = 16/243 * 27 + 9 - 70/3 = 16/9 + 9 - 210/9 = -194/9 + 81/9 = -113/9. Ini bukan -27. Maka nilai a adalah 3.