Gambarkan sketsa grafik fungsi rasional berikut, lalu

Sketsa grafik memiliki asimtot vertikal x=1 dan asimtot horizontal y=0. Daerah hasilnya adalah {y | y ∈ ℝ, y ≠ 0}.

Pembahasan

Untuk menggambar sketsa grafik fungsi rasional f(x) = 2/(1-x) dengan x ≠ 1 dan menentukan daerah hasilnya, kita perlu menganalisis beberapa fitur kunci dari fungsi tersebut.

1.  **Asimtot Vertikal:**
    Asimtot vertikal terjadi ketika penyebut fungsi sama dengan nol. Dalam kasus ini, penyebutnya adalah (1-x). Jadi, kita setel 1-x = 0, yang memberikan x = 1. Ini adalah asimtot vertikalnya.

2.  **Asimtot Horizontal:**
    Untuk fungsi rasional berbentuk f(x) = a/(bx+c), asimtot horizontalnya adalah y = 0 jika derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Di sini, pembilangnya adalah konstanta (2, derajat 0) dan penyebutnya adalah (1-x, derajat 1). Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka asimtot horizontalnya adalah y = 0.

3.  **Perpotongan Sumbu Y:**
    Untuk mencari perpotongan sumbu Y, kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
f(0) = 2/(1-0) = 2/1 = 2. Jadi, grafik memotong sumbu Y di (0, 2).

4.  **Perilaku di Sekitar Asimtot Vertikal:**
    *   Ketika x mendekati 1 dari sisi kanan (x > 1), (1-x) menjadi negatif dan mendekati 0. Maka, f(x) = 2/(nilai negatif kecil) akan mendekati \(-\infty\).
    *   Ketika x mendekati 1 dari sisi kiri (x < 1), (1-x) menjadi positif dan mendekati 0. Maka, f(x) = 2/(nilai positif kecil) akan mendekati \(+\infty\).

5.  **Sketsa Grafik:**
    *   Gambar sebuah sistem koordinat Kartesius.
    *   Gambarkan garis vertikal x = 1 sebagai asimtot vertikal.
    *   Gambarkan garis horizontal y = 0 (sumbu X) sebagai asimtot horizontal.
    *   Tandai titik potong sumbu Y di (0, 2).
    *   Untuk x < 1, grafik akan dimulai dari atas (mendekati \(+\infty\)) di sebelah kiri asimtot vertikal, melewati titik (0, 2), dan mendekati sumbu X (y=0) saat x menuju \(-\infty\).
    *   Untuk x > 1, grafik akan dimulai dari bawah (mendekati \(-\infty\)) di sebelah kanan asimtot vertikal dan mendekati sumbu X (y=0) saat x menuju \(+\infty\).

6.  **Daerah Hasil (Range):**
    Daerah hasil adalah himpunan semua nilai y yang mungkin dihasilkan oleh fungsi. Dari analisis perilaku grafik, kita melihat bahwa grafik tidak pernah menyentuh atau melintasi asimtot horizontal y = 0. Nilai y bisa positif tak terhingga dan negatif tak terhingga, tetapi tidak pernah nol.
    Jadi, daerah hasilnya adalah semua bilangan real kecuali 0.
    Dalam notasi himpunan: {y | y ∈ ℝ, y ≠ 0} atau (-∞, 0) ∪ (0, ∞).

**Kesimpulan:**
Sketsa grafik fungsi rasional f(x)=2/(1-x) memiliki asimtot vertikal di x=1 dan asimtot horizontal di y=0. Grafik memotong sumbu Y di (0,2). Daerah hasilnya adalah semua bilangan real kecuali 0.