Gambarlah grafik fungsi rasional f(x) = (x + 1)/(x^2 - 4).

Grafik memiliki asimtot vertikal di $x=2$ dan $x=-2$, asimtot horizontal di $y=0$, memotong sumbu-y di $(0, -1/4)$, dan memotong sumbu-x di $(-1, 0)$.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik fungsi rasional $f(x) = rac{x + 1}{x^2 - 4}$, kita perlu mengidentifikasi beberapa fitur kunci:

1.  **Asimtot Vertikal:** Asimtot vertikal terjadi di mana penyebut sama dengan nol dan pembilang tidak nol. Setel penyebut ke nol: $x^2 - 4 = 0 

 

  (x - 2)(x + 2) = 0 

 

  Jadi, asimtot vertikal ada di $x = 2$ dan $x = -2$.

2.  **Asimtot Horizontal:** Karena derajat pembilang (1) lebih kecil dari derajat penyebut (2), asimtot horizontal ada di $y = 0$.

3.  **Perpotongan Sumbu-y:** Untuk menemukan perpotongan sumbu-y, atur $x = 0$: 

 

  $f(0) = rac{0 + 1}{0^2 - 4} = rac{1}{-4} = -rac{1}{4}$.

  Jadi, grafik memotong sumbu-y di $(0, -1/4)$.

4.  **Perpotongan Sumbu-x:** Untuk menemukan perpotongan sumbu-x, atur pembilang ke nol: 

 

  $x + 1 = 0 

 

  $x = -1$.

  Jadi, grafik memotong sumbu-x di $(-1, 0)$.

5.  **Perilaku di Sekitar Asimtot Vertikal:**

    *   Saat $x 	o 2^+$, $x+1 	o 3$ (positif), $x-2 	o 0^+$ (positif), $x+2 	o 4$ (positif). Jadi, $f(x) 	o +rac{3}{(0^+)(4)} = +	ext{tak hingga}$.
    *   Saat $x 	o 2^-$, $x+1 	o 3$ (positif), $x-2 	o 0^-$ (negatif), $x+2 	o 4$ (positif). Jadi, $f(x) 	o +rac{3}{(0^-)(4)} = -	ext{tak hingga}$.
    *   Saat $x 	o -2^+$, $x+1 	o -1$ (negatif), $x-2 	o -4$ (negatif), $x+2 	o 0^+$ (positif). Jadi, $f(x) 	o rac{-1}{(-4)(0^+)} = +	ext{tak hingga}$.
    *   Saat $x 	o -2^-$, $x+1 	o -1$ (negatif), $x-2 	o -4$ (negatif), $x+2 	o 0^-$ (negatif). Jadi, $f(x) 	o rac{-1}{(-4)(0^-)} = -	ext{tak hingga}$.

6.  **Titik Uji (Opsional):** Pilih nilai $x$ di antara fitur-fitur kunci untuk menentukan di mana fungsi bernilai positif atau negatif.

Berdasarkan informasi ini, Anda dapat membuat sketsa grafik. Grafik akan memiliki tiga asimtot (dua vertikal, satu horizontal) dan akan melewati titik potong sumbu-x dan sumbu-y yang telah dihitung. Perilaku di sekitar asimtot vertikal akan menunjukkan bahwa grafik naik atau turun menuju tak hingga.