Gambarlah sketsa grafik fungsi rasional berikut.a. f(x)=2

Analisis domain, asimtot, perpotongan sumbu, dan perilaku fungsi untuk membuat sketsa grafik fungsi rasional.

Pembahasan

Untuk menggambar sketsa grafik fungsi rasional, kita perlu menganalisis beberapa elemen kunci dari fungsi tersebut, yaitu:

1.  **Domain:** Cari nilai x yang membuat penyebut bernilai nol. Nilai-nilai ini tidak termasuk dalam domain fungsi.
2.  **Asimtot Vertikal:** Garis vertikal yang menunjukkan di mana fungsi tidak terdefinisi. Asimtot vertikal biasanya terjadi pada nilai x yang membuat penyebut nol.
3.  **Asimtot Horizontal/Miring:** Garis horizontal atau miring yang didekati oleh grafik fungsi saat x mendekati tak hingga (positif atau negatif).
    *   Jika derajat pembilang < derajat penyebut, asimtot horizontal adalah y=0.
    *   Jika derajat pembilang = derajat penyebut, asimtot horizontal adalah y = (koefisien suku berpangkat tertinggi di pembilang) / (koefisien suku berpangkat tertinggi di penyebut).
    *   Jika derajat pembilang = derajat penyebut + 1, terdapat asimtot miring yang dapat dicari dengan pembagian polinomial.
4.  **Perpotongan Sumbu-x (Akar):** Nilai x yang membuat pembilang bernilai nol.
5.  **Perpotongan Sumbu-y:** Nilai f(0).
6.  **Perilaku Fungsi:** Periksa tanda f(x) di interval yang dibentuk oleh akar dan asimtot vertikal untuk mengetahui apakah grafik berada di atas atau di bawah sumbu-x.

Mari kita analisis kedua fungsi:

a.  **f(x) = 2x / (x^2 - 16)**
    *   Domain: x^2 - 16 ≠ 0 => (x-4)(x+4) ≠ 0 => x ≠ 4 dan x ≠ -4. Domainnya adalah {x | x ≠ -4, x ≠ 4}.
    *   Asimtot Vertikal: x = 4 dan x = -4.
    *   Asimtot Horizontal: Derajat pembilang (1) < derajat penyebut (2), sehingga asimtot horizontalnya adalah y = 0.
    *   Perpotongan Sumbu-x: 2x = 0 => x = 0. Titik potongnya adalah (0, 0).
    *   Perpotongan Sumbu-y: f(0) = 2(0) / (0^2 - 16) = 0 / -16 = 0. Titik potongnya adalah (0, 0).
    *   Perilaku Fungsi:
        *   x < -4: Ambil x = -5, f(-5) = 2(-5) / (25-16) = -10 / 9 (negatif).
        *   -4 < x < 0: Ambil x = -2, f(-2) = 2(-2) / (4-16) = -4 / -12 = 1/3 (positif).
        *   0 < x < 4: Ambil x = 2, f(2) = 2(2) / (4-16) = 4 / -12 = -1/3 (negatif).
        *   x > 4: Ambil x = 5, f(5) = 2(5) / (25-16) = 10 / 9 (positif).
    Sketsa akan menunjukkan grafik mendekati asimtot x=-4 dari kiri (negatif), mendekati y=0 dari kanan (positif), melintasi sumbu di (0,0), lalu turun mendekati asimtot x=4 dari kiri (negatif), dan naik mendekati asimtot x=4 dari kanan (positif), serta mendekati asimtot y=0 dari kanan (positif).

b.  **f(x) = (x^3 - 8) / (x^2 - x - 2)**
    *   Faktorkan penyebut: x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1). Jadi, f(x) = (x^3 - 8) / ((x-2)(x+1)).
    *   Perhatikan bahwa pembilang juga bisa difaktorkan sebagai selisih kubik: x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).
    *   Sehingga, f(x) = [(x-2)(x^2 + 2x + 4)] / [(x-2)(x+1)].
    *   Ada faktor (x-2) yang sama di pembilang dan penyebut. Ini menunjukkan adanya lubang (hole) pada grafik di x=2.
    *   Domain: x ≠ 2 dan x ≠ -1. Domainnya adalah {x | x ≠ -1, x ≠ 2}.
    *   Sederhanakan fungsi (untuk x ≠ 2): f(x) = (x^2 + 2x + 4) / (x+1).
    *   Asimtot Vertikal: x = -1 (dari penyebut yang disederhanakan).
    *   Asimtot Miring: Derajat pembilang (2) = derajat penyebut (1) + 1. Kita perlu melakukan pembagian polinomial:
        (x^2 + 2x + 4) : (x+1)
        x(x+1) = x^2 + x
        (x^2 + 2x + 4) - (x^2 + x) = x + 4
        1(x+1) = x + 1
        (x + 4) - (x + 1) = 3
        Jadi, f(x) = x + 1 + 3/(x+1). Asimtot miringnya adalah y = x + 1.
    *   Perpotongan Sumbu-x: (x^2 + 2x + 4) = 0. Diskriminan = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12. Karena diskriminan negatif, tidak ada akar real, sehingga tidak ada perpotongan sumbu-x untuk fungsi yang disederhanakan.
    *   Perpotongan Sumbu-y: f(0) = (0^2 + 2(0) + 4) / (0+1) = 4 / 1 = 4. Titik potongnya adalah (0, 4).
    *   Lubang (Hole): Terjadi pada x=2. Nilai y pada lubang adalah f(2) setelah disederhanakan: f(2) = (2^2 + 2(2) + 4) / (2+1) = (4 + 4 + 4) / 3 = 12 / 3 = 4. Jadi, ada lubang pada titik (2, 4).
    *   Perilaku Fungsi:
        *   x < -1: Ambil x = -2, f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 4 / (-2+1) = (4 - 4 + 4) / -1 = 4 / -1 = -4 (negatif).
        *   -1 < x < 2: Ambil x = 0, f(0) = 4 (positif).
        *   x > 2: Ambil x = 3, f(3) = (3^2 + 2(3) + 4) / (3+1) = (9 + 6 + 4) / 4 = 19 / 4 = 4.75 (positif).
    Sketsa akan menunjukkan grafik mendekati asimtot vertikal x=-1 dari kiri (negatif), mendekati asimtot miring y=x+1 dari bawah. Grafik memotong sumbu-y di (0,4). Ada lubang pada (2,4). Grafik mendekati asimtot miring y=x+1 dari atas di sebelah kanan lubang tersebut.