Garis yang melalui titik O(0, 0) dan P(a, b) berpotongan

$a+b = -5/2$

Pembahasan

Diketahui:
- Garis yang melalui titik O(0, 0) dan P(a, b).
- Garis singgung kurva $y = x^2 - \frac{9}{2}$ di P(a, b).
- Kedua garis tersebut berpotongan tegak lurus.
- Titik P berada di kuadran III.

Langkah 1: Cari gradien garis yang melalui O(0, 0) dan P(a, b).
Gradien ($m_1$) = $\frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.

Langkah 2: Cari gradien garis singgung kurva $y = x^2 - \frac{9}{2}$ di P(a, b).
Gradien garis singgung adalah turunan pertama dari fungsi kurva terhadap x.
$\\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - \frac{9}{2}) = 2x$.
Di titik P(a, b), gradien garis singgung ($m_2$) = $2a$.

Langkah 3: Gunakan syarat dua garis berpotongan tegak lurus.
$m_1 \times m_2 = -1$
$(\frac{b}{a}) \times (2a) = -1$
$2b = -1$
$b = -\frac{1}{2}$

Langkah 4: Gunakan fakta bahwa titik P(a, b) berada pada kurva $y = x^2 - \frac{9}{2}$.
Karena P(a, b) ada di kurva, maka $b = a^2 - \frac{9}{2}$.
Substitusikan nilai $b = -\frac{1}{2}$:
$-\frac{1}{2} = a^2 - \frac{9}{2}$
$a^2 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$
$a^2 = \frac{8}{2}$
$a^2 = 4$
$a = 2$ atau $a = -2$.

Langkah 5: Tentukan nilai $a$ berdasarkan informasi bahwa P berada di kuadran III.
Di kuadran III, nilai x (yaitu $a$) dan nilai y (yaitu $b$) keduanya negatif.
Karena $a = 2$ atau $a = -2$, kita pilih $a = -2$ agar P berada di kuadran III.
Nilai $b$ yang kita dapatkan adalah $b = -\frac{1}{2}$, yang memang negatif.
Jadi, titik P adalah (-2, -1/2).

Langkah 6: Hitung $a + b$.
$a + b = -2 + (-\frac{1}{2})$
$a + b = -2 - \frac{1}{2}$
$a + b = -\frac{4}{2} - \frac{1}{2}$
$a + b = -\frac{5}{2}$

Jadi, $a + b = -\frac{5}{2}$ atau -2.5.