Nilai limit x->0 (2xsin 3x)/(1-cos 6x)= ....

1/3

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari \( \frac{2x\sin 3x}{1-\cos 6x} \) saat \( x \to 0 \), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah \( \frac{0}{0} \) saat \( x = 0 \).

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit suatu fungsi berbentuk \( \frac{f(x)}{g(x)} \) menghasilkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \) atau \( \frac{\infty}{\infty} \), maka limit tersebut sama dengan limit dari \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \).

Misalkan \( f(x) = 2x\sin 3x \) dan \( g(x) = 1-\cos 6x \).

Turunan pertama dari \( f(x) \) adalah:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x\sin 3x) \)
Menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv':
\( u = 2x \Rightarrow u' = 2 \)
\( v = \sin 3x \Rightarrow v' = 3\cos 3x \)
\( f'(x) = 2(\sin 3x) + 2x(3\cos 3x) = 2\sin 3x + 6x\cos 3x \)

Turunan pertama dari \( g(x) \) adalah:
\( g'(x) = \frac{d}{dx}(1-\cos 6x) \)
\( g'(x) = 0 - (-6\sin 6x) = 6\sin 6x \)

Sekarang, kita hitung limit dari \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \) saat \( x \to 0 \):
\( \lim_{x\to 0} \frac{2\sin 3x + 6x\cos 3x}{6\sin 6x} \)

Bentuk ini masih \( \frac{0}{0} \) saat \( x = 0 \), jadi kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan kedua dari \( f(x) \) (yaitu turunan dari \( f'(x) \)) adalah:
\( f''(x) = \frac{d}{dx}(2\sin 3x + 6x\cos 3x) \)
\( f''(x) = 2(3\cos 3x) + \frac{d}{dx}(6x\cos 3x) \)
Untuk \( \frac{d}{dx}(6x\cos 3x) \), gunakan aturan perkalian:
\( u = 6x \Rightarrow u' = 6 \)
\( v = \cos 3x \Rightarrow v' = -3\sin 3x \)
\( \frac{d}{dx}(6x\cos 3x) = 6(\cos 3x) + 6x(-3\sin 3x) = 6\cos 3x - 18x\sin 3x \)
Jadi, \( f''(x) = 6\cos 3x + 6\cos 3x - 18x\sin 3x = 12\cos 3x - 18x\sin 3x \)

Turunan kedua dari \( g(x) \) (yaitu turunan dari \( g'(x) \)) adalah:
\( g''(x) = \frac{d}{dx}(6\sin 6x) \)
\( g''(x) = 6(6\cos 6x) = 36\cos 6x \)

Sekarang, kita hitung limit dari \( \frac{f''(x)}{g''(x)} \) saat \( x \to 0 \):
\( \lim_{x\to 0} \frac{12\cos 3x - 18x\sin 3x}{36\cos 6x} \)
Substitusikan \( x = 0 \):
\( \frac{12\cos(0) - 18(0)\sin(0)}{36\cos(0)} = \frac{12(1) - 0}{36(1)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \)

Cara lain menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa \( 1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta \). Maka, \( 1 - \cos 6x = 2\sin^2 3x \).
Limit menjadi: \( \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin 3x}{2\sin^2 3x} = \lim_{x\to 0} \frac{x\sin 3x}{\sin^2 3x} \)
Kita tahu bahwa \( \lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \). Maka, \( \sin 3x \approx 3x \) saat \( x \to 0 \).
Substitusikan ini:
\( \lim_{x\to 0} \frac{x(3x)}{(3x)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{3x^2}{9x^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)