Grafik fungsi T(x)=2x^3+(9/2 a x^2)-4bx+5 akan selalu turun

3

Pembahasan

Grafik fungsi $T(x) = 2x^3 + (9/2 a x^2) - 4bx + 5$ akan selalu turun dalam interval $-4 < x < 1$.

Sebuah fungsi akan selalu turun jika turunan pertamanya negatif pada interval tersebut. Jadi, kita perlu mencari turunan pertama dari $T(x)$ dan memastikan $T'(x) < 0$ untuk $-4 < x < 1$.

Turunan pertama dari $T(x)$ adalah:
$T'(x) = d/dx (2x^3 + (9/2 a x^2) - 4bx + 5)$
$T'(x) = 6x^2 + (9/2 a * 2x) - 4b$
$T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$

Agar fungsi selalu turun, $T'(x) < 0$ pada interval $-4 < x < 1$.
Ini berarti bahwa parabola $y = 6x^2 + 9ax - 4b$ harus berada di bawah sumbu-x pada interval tersebut.

Untuk sebuah fungsi kuadrat $f(x) = px^2 + qx + r$ yang selalu negatif pada interval $(x_1, x_2)$, akar-akar dari $f(x)=0$ harus berada di luar interval tersebut, atau jika akarnya berada di dalam interval, maka koefisien $p$ harus negatif (yang tidak berlaku di sini karena koefisien $x^2$ adalah 6, positif).

Dalam kasus ini, parabola $T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$ terbuka ke atas. Agar $T'(x) < 0$ pada interval $(-4, 1)$, maka kedua akar dari $T'(x) = 0$ harus berada di luar interval $(-4, 1)$. Artinya, akar-akarnya harus lebih kecil dari -4 atau lebih besar dari 1.

Misalkan akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$, dengan $x_1 
eq x_2$ (karena jika akarnya sama, $T'(x)$ akan menyentuh sumbu-x, bukan selalu di bawahnya).
Kita perlu memiliki salah satu dari kondisi berikut:
1.  $x_1 < x_2 < -4$
2.  $1 < x_1 < x_2$

Namun, jika kedua akar berada di luar interval, ini berarti bahwa $T'(x)$ akan bernilai positif di luar interval antara akar-akar tersebut. Agar $T'(x)$ selalu negatif di interval $(-4, 1)$, ini menyiratkan bahwa interval $(-4, 1)$ harus berada di antara kedua akar tersebut, dan parabola harus terbuka ke bawah. Karena parabola terbuka ke atas, kondisi agar $T'(x) < 0$ pada interval $(-4, 1)$ adalah agar interval tersebut berada di luar daerah positif dari akar-akarnya. Ini adalah kontradiksi.

Mari kita tinjau ulang syarat agar fungsi kuadrat $ax^2+bx+c$ selalu negatif pada interval $(x_1, x_2)$. Ini hanya mungkin jika $a < 0$ dan diskriminan $D > 0$, dengan akar-akar $x_{left}$ dan $x_{right}$ sedemikian rupa sehingga $x_{left} < x_1$ dan $x_{right} > x_2$.

Karena koefisien $x^2$ pada $T'(x)$ adalah positif (6), maka parabola $T'(x)$ terbuka ke atas. Agar $T'(x)$ selalu negatif pada interval $(-4, 1)$, maka interval $(-4, 1)$ harus berada di antara kedua akar dari $T'(x)=0$. Ini berarti akar-akarnya harus lebih kecil dari -4 dan lebih besar dari 1.

Misalkan akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$, dengan $\alpha < \beta$.
Maka, agar $T'(x) < 0$ untuk $-4 < x < 1$, haruslah $\alpha < -4$ dan $\beta > 1$.

Ini berarti $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$. Namun, untuk parabola yang terbuka ke atas, jika $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$, maka kedua akar harus berada di antara -4 dan 1. Ini bertentangan dengan syarat agar $T'(x)$ selalu negatif.

Ada kemungkinan bahwa soal mengartikan 'selalu turun' sebagai kondisi di mana nilai minimum dari turunan berada di bawah nol pada interval tersebut. Namun, interpretasi standar untuk 'selalu turun' pada suatu interval adalah turunan pertama harus negatif pada seluruh interval tersebut.

Jika kita mengasumsikan bahwa interval $(-4, 1)$ berada di antara akar-akar $T'(x)=0$, dan parabola terbuka ke atas, maka $T'(x)$ akan positif di luar interval akar dan negatif di dalam interval akar. Jadi, interval $(-4, 1)$ harus berada di antara akar-akar tersebut.

Syarat agar $T'(x) < 0$ pada $-4 < x < 1$ adalah:
1.  Diskriminan $D > 0$ (agar ada dua akar real yang berbeda).
2.  $T'(-4) < 0$
3.  $T'(1) < 0$

Mari kita hitung $T'(-4)$ dan $T'(1)$:
$T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$

$T'(-4) = 6(-4)^2 + 9a(-4) - 4b$
$T'(-4) = 6(16) - 36a - 4b$
$T'(-4) = 96 - 36a - 4b$

$T'(1) = 6(1)^2 + 9a(1) - 4b$
$T'(1) = 6 + 9a - 4b$

Agar $T'(x)$ selalu turun pada interval $(-4, 1)$, maka nilai minimum dari $T'(x)$ pada interval tersebut harus kurang dari nol. Titik puncak dari parabola $T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$ berada pada $x = - (9a) / (2*6) = -9a / 12 = -3a/4$.

Agar $T'(x)$ selalu negatif pada interval $(-4, 1)$, maka harus dipenuhi:
1.  Parabola terbuka ke atas (koefisien $x^2$ positif, yaitu 6 > 0, terpenuhi).
2.  Kedua akar dari $T'(x) = 0$ harus berada di luar interval $(-4, 1)$. Ini berarti akar-akarnya lebih kecil dari -4 atau lebih besar dari 1.

Ini hanya mungkin jika interval $(-4, 1)$ berada di antara kedua akar. Jadi, akar yang lebih kecil harus kurang dari -4, dan akar yang lebih besar harus lebih dari 1.

Kondisi ini dapat dipenuhi jika:
-   Nilai fungsi di ujung interval negatif: $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$.
-   Puncak parabola berada di antara kedua akar. Namun, jika kedua akar berada di luar interval, maka puncak parabola berada di antara kedua akar tersebut. Untuk parabola terbuka ke atas, $T'(x)$ negatif di antara akar-akarnya.

Mari kita gunakan kondisi bahwa $T'(x) < 0$ untuk semua $x$ di interval $(-4, 1)$.
Ini berarti bahwa nilai maksimum dari $T'(x)$ pada interval $[-4, 1]$ harus kurang dari 0. Nilai maksimum dari fungsi kuadrat yang terbuka ke atas pada suatu interval terjadi di salah satu ujung interval.

Jadi, kita perlu $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$.

$T'(-4) = 96 - 36a - 4b < 0 
	=> 96 < 36a + 4b 
	=> 24 < 9a + b$  (Persamaan 1)

$T'(1) = 6 + 9a - 4b < 0
	=> 6 < 4b - 9a$  (Persamaan 2)

Kita juga perlu memastikan bahwa tidak ada akar di dalam interval. Jika kedua akar berada di luar interval, maka interval tersebut berada di antara akar-akarnya. Ini berarti $T'(x)$ akan negatif di dalam interval tersebut. Namun, $T'(x)$ akan positif di luar interval akarnya.

Jika fungsi selalu turun, maka $T'(x) 
gtr 0$ pada interval $(-4, 1)$. Ini berarti $T'(x) 
e 0$ dan $T'(x) < 0$ pada interval tersebut.

Mari kita pertimbangkan bahwa interval $(-4, 1)$ adalah interval di mana $T'(x)$ berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya. Jika fungsi selalu turun, maka $T'(x)$ harus negatif di seluruh interval. Ini berarti bahwa kedua akar dari $T'(x)=0$ harus berada di luar interval $(-4, 1)$.

Misalkan akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$, dengan $x_1 < x_2$. Maka harus berlaku $x_1 < -4$ dan $x_2 > 1$.

Kondisi ini terpenuhi jika:
1.  $T'(-4) < 0 
=> 96 - 36a - 4b < 0 
=> 9a + b > 24$
2.  $T'(1) < 0 
=> 6 + 9a - 4b < 0 
=> 9a - 4b < -6$

Kita perlu mencari nilai $b/a$. Mari kita coba eliminasi $b$ atau $a$ dari kedua ketidaksetaraan.

Kalikan ketidaksetaraan pertama dengan 4:
$36a + 4b > 96$

Jumlahkan dengan ketidaksetaraan kedua:
$(36a + 4b) + (9a - 4b) > 96 + (-6)$
$45a > 90$
$a > 2$

Sekarang, mari kita coba eliminasi $a$.
Kalikan ketidaksetaraan pertama dengan 1:
$9a + b > 24 
=> 9a > 24 - b$

Kalikan ketidaksetaraan kedua dengan -1:
$4b - 9a > 6 
=> 9a < 4b - 6$

Dari kedua hasil ini:
$24 - b < 9a < 4b - 6$

$24 - b < 4b - 6$
$24 + 6 < 4b + b$
$30 < 5b$
$b > 6$

Kita punya $a > 2$ dan $b > 6$.
Sekarang kita perlu mencari nilai $b/a$. Dari ketidaksetaraan:
$9a + b > 24 
=> b/a + 9 > 24/a$
$9a - 4b < -6 
=> 9a < 4b - 6 
=> 9 < 4(b/a) - 6/a$

Mari kita gunakan vertex (puncak) dari parabola $T'(x)$. Puncak berada di $x = -3a/4$.
Agar interval $(-4, 1)$ berada di antara akar-akar, maka puncak harus berada di dalam interval $(-4, 1)$.
$-4 < -3a/4 < 1$

Dari $-4 < -3a/4$: $16 > 3a 
=> a < 16/3$

Dari $-3a/4 < 1$: $-3a < 4 
=> a > -4/3$

Jadi, $-4/3 < a < 16/3$.

Kita juga perlu $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$.

Misalkan kita punya $T'(x) = 6(x - x_1)(x - x_2)$.
Karena $x_1 < -4$ dan $x_2 > 1$, maka:
$T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$

Jumlah akar: $x_1 + x_2 = -9a/6 = -3a/2$.
Perkalian akar: $x_1 x_2 = -4b/6 = -2b/3$.

Karena $x_1 < -4$ dan $x_2 > 1$, maka $x_1 + x_2$ bisa positif atau negatif, tergantung nilai absolutnya.

Namun, jika kita perhatikan $T'(1) < 0$ dan $T'(-4) < 0$, ini berarti interval $(-4, 1)$ berada di antara akar-akar $T'(x) = 0$. Dengan demikian, titik puncak parabola $x_p = -3a/4$ harus berada di dalam interval $(-4, 1)$, sehingga $-4 < -3a/4 < 1$.
Ini memberikan $-16/3 < a < 4/3$. (Perhatikan bahwa saya salah tanda sebelumnya).
$-4 < -3a/4 
=> -16 < -3a 
=> 16 > 3a 
=> a < 16/3$
$-3a/4 < 1 
=> -3a < 4 
=> a > -4/3$
Jadi, $-4/3 < a < 16/3$. 

Sekarang, mari kita gunakan $T'(1) < 0$ dan $T'(-4) < 0$.
$T'(1) = 6 + 9a - 4b < 0 
=> 9a - 4b < -6$
$T'(-4) = 96 - 36a - 4b < 0 
=> -36a - 4b < -96 
=> 36a + 4b > 96 
=> 9a + b > 24$

Kita ingin mencari $b/a$. Mari kita ubah bentuk ketidaksetaraan untuk mendapatkan rasio $b/a$.
Dari $9a + b > 24 
=> b > 24 - 9a$
Bagi dengan $a$ (kita asumsikan $a>0$ karena interval puncak).
$b/a > 24/a - 9$

Dari $9a - 4b < -6 
=> 9a + 6 < 4b$
Bagi dengan $a$.
$9 + 6/a < 4(b/a)$
$(9 + 6/a)/4 < b/a$

Jadi, $(9 + 6/a)/4 < b/a > 24/a - 9$.
Ini belum memberikan nilai spesifik.

Mari kita pertimbangkan kasus di mana interval $(-4, 1)$ adalah tepat di antara akar-akar. Ini berarti akar-akarnya adalah -4 dan 1, tetapi ini akan membuat $T'(-4)=0$ dan $T'(1)=0$, yang berarti fungsi tidak selalu turun.

Jika fungsi selalu turun pada interval $(-4, 1)$, maka $T'(x)$ harus negatif pada interval tersebut. Ini berarti bahwa fungsi kuadrat $T'(x)$ memiliki nilai maksimum negatif pada interval tersebut.

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat $Ax^2 + Bx + C$ pada interval $[x_1, x_2]$ terjadi di $x_1$ atau $x_2$ jika puncak berada di luar interval, atau di puncak jika puncak berada di dalam interval.

Dalam kasus ini, parabola $T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$ terbuka ke atas. Agar $T'(x) < 0$ pada $(-4, 1)$, maka kedua akar harus berada di luar interval $(-4, 1)$.
Jadi, akar-akar $x_1, x_2$ harus memenuhi $x_1 < -4$ dan $x_2 > 1$ (atau sebaliknya jika $x_1 > x_2$).

Ini berarti bahwa nilai $T'(x)$ pada batas interval harus negatif.
$T'(-4) < 0 
=> 96 - 36a - 4b < 0 
=> 36a + 4b > 96 
=> 9a + b > 24$

$T'(1) < 0 
=> 6 + 9a - 4b < 0 
=> 9a - 4b < -6$

Kita ingin mencari $b/a$. Mari kita gunakan informasi tentang posisi akar.
Jika $x_1 < -4$ dan $x_2 > 1$, maka $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-3a/2}{2} = -3a/4$ (pusat antara akar) harus berada di dalam interval $(-4, 1)$.
$-4 < -3a/4 < 1$
$-16 < -3a < 4$
$16 > 3a > -4$
$-4/3 < a < 16/3$

Sekarang, mari kita manipulasi ketidaksetaraan:
1) $9a + b > 24 
=> b > 24 - 9a$
2) $9a - 4b < -6 
=> 4b > 9a + 6 
=> b > (9a + 6)/4$

Jadi, $b > \max(24 - 9a, (9a + 6)/4)$.

Untuk mendapatkan nilai $b/a$, kita perlu menyamakan kedua batas tersebut atau menggunakan informasi lain.

Jika kita menganggap bahwa interval $(-4, 1)$ adalah interval di mana $T'(x)$ nilainya paling negatif, maka nilai minimum dari $T'(x)$ harus kurang dari nol, dan nilai maksimum pada interval tersebut juga harus kurang dari nol.

Nilai maksimum dari $T'(x)$ pada interval $[-4, 1]$ terjadi di $x=-4$ atau $x=1$ karena parabola terbuka ke atas.
Jadi kita perlu $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$.

Mari kita coba substitusi $b = ka$. Maka kita ingin mencari $k$.
$9a + ka > 24 
=> a(9+k) > 24$
$9a - 4ka < -6 
=> a(9-4k) < -6$

Jika $a > 0$, maka $9+k > 24/a$ dan $9-4k < -6/a$.
Ini masih bergantung pada $a$.

Perhatikan bahwa agar interval $(-4, 1)$ berada di antara kedua akar, maka nilai $T'(x)$ di titik tengah interval, yaitu $x = (-4+1)/2 = -3/2$, haruslah negatif.
$T'(-3/2) = 6(-3/2)^2 + 9a(-3/2) - 4b$
$T'(-3/2) = 6(9/4) - 27a/2 - 4b$
$T'(-3/2) = 27/2 - 27a/2 - 4b$

Agar $T'(x)$ selalu negatif pada $(-4, 1)$, maka nilai minimum dari $T'(x)$ pada interval tersebut harus negatif.
Titik puncak $x_p = -3a/4$.

Kasus 1: Puncak berada di dalam interval $(-4, 1)$.
$-4 < -3a/4 < 1 
=> -4/3 < a < 16/3$.
Dalam kasus ini, nilai minimum adalah di puncak: $T'(-3a/4) < 0$.
$T'(-3a/4) = 6(-3a/4)^2 + 9a(-3a/4) - 4b$
$= 6(9a^2/16) - 27a^2/4 - 4b$
$= 54a^2/16 - 27a^2/4 - 4b$
$= 27a^2/8 - 54a^2/8 - 4b$
$= -27a^2/8 - 4b$

Agar $-27a^2/8 - 4b < 0 
=> -27a^2/8 < 4b$
$=> -27a^2 < 32b$
$=> b > -27a^2/32$

Kita juga perlu $T'(-4) < 0$ dan $T'(1) < 0$.
$9a + b > 24$
$9a - 4b < -6$

Jika kita perhatikan syarat agar interval $(-4, 1)$ berada di antara akar-akar, maka $T'(-4)$ dan $T'(1)$ harus memiliki tanda yang sama, dan tanda tersebut harus berlawanan dengan tanda $T'(x)$ di antara akar-akar. Karena $T'(x)$ negatif di antara akar, maka $T'(-4)$ dan $T'(1)$ harus positif jika kedua akar berada di luar interval. Namun, kita butuh $T'(x)$ negatif pada interval tersebut.

Jadi, kedua akar $\alpha, \beta$ harus berada di luar $(-4, 1)$.
$\,\alpha < -4$ dan $\beta > 1$.

Ini menyiratkan bahwa $T'(-4)$ dan $T'(1)$ harus memiliki tanda yang sama. Karena parabola terbuka ke atas, dan interval $(-4, 1)$ berada di antara akar-akarnya, maka $T'(-4)$ dan $T'(1)$ harus positif.

Jadi, kita perlu:
1. $T'(-4) > 0 
=> 96 - 36a - 4b > 0 
=> 36a + 4b < 96 
=> 9a + b < 24$
2. $T'(1) > 0 
=> 6 + 9a - 4b > 0 
=> 9a - 4b > -6$

Dan nilai minimum dari $T'(x)$ pada $(-4, 1)$ harus negatif. Jika puncak berada di dalam interval, maka $T'(-3a/4) < 0$.
$-27a^2/8 - 4b < 0 
=> b > -27a^2/32$

Kita mencari $b/a$. Dari $9a + b < 24 
=> b/a < 24/a - 9$
Dari $9a - 4b > -6 
=> 4b < 9a + 6 
=> b < (9a + 6)/4$

Jadi, $b/a < (9 + 6/a)/4$.

Ada sebuah sifat bahwa jika sebuah fungsi kuadrat $f(x)$ memiliki akar $\alpha$ dan $\beta$ ($\,\alpha < \beta$) dan kita menginginkan $f(x) < 0$ pada interval $(c, d)$, maka harus dipenuhi $\,\alpha < c$ dan $\beta > d$.

Dalam kasus kita, $T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$. Agar $T'(x) < 0$ pada $(-4, 1)$, kita perlu akar-akarnya $\,\alpha, \beta$ memenuhi $\,\alpha < -4$ dan $\beta > 1$.

Ini berarti bahwa:
-   $T'(-4) < 0 
=> 9a + b > 24$
-   $T'(1) < 0 
=> 9a - 4b < -6$

Kita perlu menemukan rasio $b/a$. Mari kita coba manipulasi kedua ketidaksetaraan.

Dari $9a + b > 24$, kita punya $b > 24 - 9a$.
Dari $9a - 4b < -6$, kita punya $4b > 9a + 6 
=> b > (9a + 6)/4$.

Untuk mendapatkan nilai $b/a$, kita perlu menyamakan kedua batas dari $b$ atau menggunakan informasi lain.

Consider the case where the roots are symmetric around the center of the interval, but this is not guaranteed.

Let's re-examine the conditions for $T'(x) < 0$ on $(-4, 1)$.
This means the vertex of the parabola $T'(x)$ must be within the interval $(-4, 1)$, and the value at the vertex must be negative, and the values at the endpoints must also be negative. However, for a parabola opening upwards, if the vertex is within the interval, and the endpoints are negative, it doesn't guarantee the entire interval is negative.

The condition that the interval $(-4, 1)$ lies between the roots $\,\alpha$ and $\,\beta$ (where $\,\alpha < -4$ and $\,\beta > 1$) is the correct one for $T'(x) < 0$ on $(-4, 1)$.

So we have:
1. $T'(-4) < 0 
=> 9a + b > 24$
2. $T'(1) < 0 
=> 9a - 4b < -6$

Let's try to express $b/a$. Divide by $a$ (assuming $a 
e 0$).
Assume $a > 0$ for now.
1. $9 + b/a > 24/a$
2. $9 - 4(b/a) < -6/a$

Consider the quadratic $T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$. If the roots are $\,\alpha$ and $\,\beta$, then $\,\alpha + \beta = -9a/6 = -3a/2$ and $\,\alpha \beta = -4b/6 = -2b/3$.

We need $\,\alpha < -4$ and $\,\beta > 1$.
This implies $\,\alpha + \beta = -3a/2$. We cannot directly determine the sign of $a$ or $b/a$ from this.

Let's consider the vertex of the parabola $T'(x)$, which is at $x_v = -3a/4$. For the roots to be separated by the interval $(-4, 1)$, the vertex must lie within $(-4, 1)$.
$-4 < -3a/4 < 1 
=> -16 < -3a < 4 
=> 16 > 3a > -4 
=> -4/3 < a < 16/3$.

Now let's manipulate the inequalities to find $b/a$.
From $9a + b > 24$, we get $b > 24 - 9a$.
From $9a - 4b < -6$, we get $4b > 9a + 6$, so $b > (9a + 6)/4$.

We need a specific value for $b/a$. This suggests that the boundary conditions might be important. Let's consider the case where the interval $(-4, 1)$ is exactly between the roots, which implies that the vertex might be at the midpoint of the interval, or the values at the endpoints are the critical ones.

Let's try to find a value of $b/a$ that satisfies these. This problem might be designed such that there's a specific ratio that makes the conditions hold.

If we consider the midpoint of the interval, $x = -3/2$, and assume the vertex is there, then $-3a/4 = -3/2 
=> a = 2$. If $a=2$, then $-4/3 < 2 < 16/3$, which is true.

If $a=2$, then:
$9(2) + b > 24 
=> 18 + b > 24 
=> b > 6$
$9(2) - 4b < -6 
=> 18 - 4b < -6 
=> 24 < 4b 
=> b > 6$

If $a=2$ and $b > 6$, then $b/a > 6/2 = 3$.
So $b/a > 3$.

Let's try to use the condition that the interval $(-4, 1)$ is between the roots.
This means $T'(x) = 6(x - \alpha)(x - \beta)$ where $\,\alpha < -4$ and $\,\beta > 1$.

Consider the function $g(x) = T'(x)/6 = x^2 + (3a/2)x - (2b/3)$. The roots of $g(x)$ are $\,\alpha$ and $\,\beta$.
We need $\,\alpha < -4$ and $\,\beta > 1$.

This implies that $g(-4) < 0$ and $g(1) < 0$.
$g(-4) = (-4)^2 + (3a/2)(-4) - (2b/3) = 16 - 6a - 2b/3 < 0$
$48 - 18a - 2b < 0 
=> 48 < 18a + 2b 
=> 24 < 9a + b$
This matches our previous inequality.

$g(1) = (1)^2 + (3a/2)(1) - (2b/3) = 1 + 3a/2 - 2b/3 < 0$
$6 + 9a - 4b < 0$
This also matches our previous inequality.

So we have $9a + b > 24$ and $9a - 4b < -6$.

Let's consider the case where the interval $(-4, 1)$ is precisely the interval where $T'(x)<0$. This happens when the roots are $-4$ and $1$, but this would mean $T'(-4)=0$ and $T'(1)=0$, which contradicts the condition of always decreasing.

However, if we consider the boundary case where the roots are such that the interval $(-4, 1)$ is the 'widest' interval where the function is negative, this might occur when the roots are symmetrically placed relative to the interval.

Let's assume there is a specific value for $b/a$. If we set $b=ka$, then:
$9a + ka > 24 
=> a(9+k) > 24$
$9a - 4ka < -6 
=> a(9-4k) < -6$

If $a>0$, then $9+k > 24/a$ and $9-4k < -6/a$.

Let's try a value for $b/a$ and see if it works. If $b/a = 3$, then $b=3a$.
$9a + 3a > 24 
=> 12a > 24 
=> a > 2$
$9a - 4(3a) < -6 
=> 9a - 12a < -6 
=> -3a < -6 
=> a > 2$

So, if $b/a = 3$, then we need $a > 2$. This means that for any $a > 2$, if $b=3a$, the conditions hold. Therefore, $b/a = 3$ is a possible value.

Let's check if this is the only possible value. The question asks for 'Nilai (b/a) adalah...', implying a unique value.

This uniqueness might come from the condition that the interval $(-4, 1)$ is the specific interval where the function decreases.

Consider the function $T'(x)/6 = x^2 + (3a/2)x - (2b/3)$. Roots $\,\alpha, \beta$ such that $\,\alpha < -4$ and $\,\beta > 1$.
Sum of roots: $\,\alpha + \beta = -3a/2$. Product of roots: $\,\alpha \beta = -2b/3$.

If we assume that the interval $(-4, 1)$ is the region between the roots, then the roots are $-4-\delta_1$ and $1+\delta_2$ for some $\delta_1, \delta_2 > 0$.

Let's reconsider the vertex. The vertex $x_v = -3a/4$. For the roots to straddle the interval $(-4, 1)$, the vertex must be within $(-4, 1)$.
$-4 < -3a/4 < 1 
=> -4/3 < a < 16/3$.

Consider the case when the interval $(-4, 1)$ is the maximal interval for which $T'(x) < 0$. This happens when the roots are exactly $-4$ and $1$. But this would mean $T'(x) = 6(x+4)(x-1) = 6(x^2 + 3x - 4) = 6x^2 + 18x - 24$.

Comparing $T'(x) = 6x^2 + 9ax - 4b$ with $6x^2 + 18x - 24$, we get:
$9a = 18 
=> a = 2$
$-4b = -24 
=> b = 6$

In this case, $b/a = 6/2 = 3$.

Let's verify if $a=2$ and $b=6$ satisfy the conditions for $T'(x) < 0$ on $(-4, 1)$.
$T'(x) = 6x^2 + 9(2)x - 4(6) = 6x^2 + 18x - 24 = 6(x^2 + 3x - 4) = 6(x+4)(x-1)$.

The roots of $T'(x)$ are $x=-4$ and $x=1$. The parabola opens upwards. Thus, $T'(x) < 0$ for $-4 < x < 1$.

This matches the condition that the function $T(x)$ is always decreasing in the interval $-4 < x < 1$.

Therefore, $a=2$ and $b=6$, which gives $b/a = 3$.