Grafik fungsi y=(x-c)/(px^2+qx-4) melalui titik (-7,-12)

c=281, p=1, q=3. Grafik memiliki asimtot tegak x=1, x=-4, asimtot datar y=0, memotong sumbu y di (0, 70.25) dan sumbu x di (281, 0).

Pembahasan

Diketahui grafik fungsi y=(x-c)/(px^2+qx-4) melalui titik (-7,-12) dan memiliki asimtot tegak garis x=1 dan x=-4.

**1. Menentukan Asimtot Tegak:**
Asimtot tegak terjadi ketika penyebut fungsi bernilai nol. Diketahui asimtot tegaknya adalah x=1 dan x=-4. Ini berarti penyebut px^2+qx-4 memiliki akar-akar x=1 dan x=-4. 

Kita bisa menulis penyebut dalam bentuk faktorisasi: p(x-1)(x+4).

Ekspansi bentuk faktorisasi: p(x^2 + 4x - x - 4) = p(x^2 + 3x - 4).

Menyamakan koefisien dengan penyebut asli: px^2 + qx - 4 = p(x^2 + 3x - 4) = px^2 + 3px - 4p.

Dari koefisien konstanta, kita punya -4 = -4p, sehingga p = 1.

Dari koefisien x, kita punya q = 3p. Karena p=1, maka q = 3 * 1 = 3.

Jadi, penyebutnya adalah x^2 + 3x - 4.

Fungsi menjadi y = (x-c) / (x^2 + 3x - 4).

**2. Menentukan c:**
Grafik fungsi melalui titik (-7, -12). Kita substitusikan nilai x=-7 dan y=-12 ke dalam persamaan fungsi:
-12 = (-7 - c) / ((-7)^2 + 3(-7) - 4)
-12 = (-7 - c) / (49 - 21 - 4)
-12 = (-7 - c) / (24)

Kalikan kedua sisi dengan 24:
-12 * 24 = -7 - c
-288 = -7 - c

Tambahkan 7 ke kedua sisi:
-288 + 7 = -c
-281 = -c
c = 281

Jadi, nilai c = 281, p = 1, dan q = 3.

Fungsi lengkapnya adalah y = (x - 281) / (x^2 + 3x - 4).

**3. Menggambar Grafik Fungsi:**
Untuk menggambar grafik, kita perlu mengetahui beberapa informasi:
*   **Asimtot Tegak:** x = 1 dan x = -4.
*   **Asimtot Datar:** Karena derajat penyebut (2) lebih besar dari derajat pembilang (1), maka asimtot datarnya adalah y = 0.
*   **Perpotongan dengan Sumbu y:** Saat x = 0, y = (0 - 281) / (0^2 + 3(0) - 4) = -281 / -4 = 70,25. Titik potong sumbu y adalah (0, 70.25).
*   **Perpotongan dengan Sumbu x:** Terjadi ketika pembilang = 0, yaitu x - 281 = 0, sehingga x = 281. Titik potong sumbu x adalah (281, 0).

**Analisis Perilaku Fungsi di Sekitar Asimtot Tegak:**
*   Untuk x mendekati 1 dari kanan (x > 1):
    Pembilang (x - 281) akan negatif (mendekati -280).
    Penyebut (x - 1)(x + 4) akan positif (sedikit lebih besar dari 0) * (positif).
    Jadi, y akan negatif besar (mendekati -∞).
*   Untuk x mendekati 1 dari kiri (x < 1):
    Pembilang (x - 281) akan negatif.
    Penyebut (x - 1)(x + 4) akan negatif (sedikit lebih kecil dari 0) * (positif).
    Jadi, y akan positif besar (mendekati +∞).
*   Untuk x mendekati -4 dari kanan (x > -4):
    Pembilang (x - 281) akan negatif (mendekati -285).
    Penyebut (x - 1)(x + 4) akan negatif * (positif, sedikit lebih besar dari 0).
    Jadi, y akan positif besar (mendekati +∞).
*   Untuk x mendekati -4 dari kiri (x < -4):
    Pembilang (x - 281) akan negatif.
    Penyebut (x - 1)(x + 4) akan negatif * (negatif, sedikit lebih kecil dari 0).
    Jadi, y akan negatif besar (mendekati -∞).

Gambar grafik akan menunjukkan tiga cabang yang dibatasi oleh asimtot-asimtot tegak, dengan perilaku fungsi seperti yang dianalisis di atas, serta memotong sumbu y di (0, 70.25) dan sumbu x di (281, 0).