Hasil dari integral x akar(x)(1+x^2) dx=...

Hasil integralnya adalah (2/5)x^(5/2) + (2/9)x^(9/2) + C.

Pembahasan

Kita perlu menghitung hasil dari integral:
∫ x√(x)(1+x²) dx

Langkah 1: Sederhanakan bentuk di dalam integral.
√(x) dapat ditulis sebagai x^(1/2).
Jadi, x√(x) = x * x^(1/2) = x^(1 + 1/2) = x^(3/2).

Integral menjadi:
∫ x^(3/2) (1+x²) dx

Langkah 2: Distribusikan x^(3/2) ke dalam kurung.
∫ (x^(3/2) * 1 + x^(3/2) * x²) dx
∫ (x^(3/2) + x^(3/2 + 2)) dx
∫ (x^(3/2) + x^(7/2)) dx

Langkah 3: Integralkan setiap suku secara terpisah.
Untuk ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹) / (n+1) + C

Integralkan x^(3/2):
∫ x^(3/2) dx = x^(3/2 + 1) / (3/2 + 1) = x^(5/2) / (5/2) = (2/5) x^(5/2)

Integralkan x^(7/2):
∫ x^(7/2) dx = x^(7/2 + 1) / (7/2 + 1) = x^(9/2) / (9/2) = (2/9) x^(9/2)

Langkah 4: Gabungkan hasil integral dan tambahkan konstanta C.
Hasil integral = (2/5) x^(5/2) + (2/9) x^(9/2) + C

Kita bisa menulis ulang x^(5/2) sebagai x²√(x) dan x^(9/2) sebagai x⁴√(x).
Jadi, hasilnya adalah:
(2/5) x²√(x) + (2/9) x⁴√(x) + C
Atau bisa juga ditulis sebagai:
(2/5) x^(5/2) + (2/9) x^(9/2) + C