Hasil dari limit x mendekati pi/4 ((sin

\frac{1}{\sqrt{2}}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}}{x - \frac{\pi}{4}}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan tersebut ada.

Dalam kasus ini:
$f(x) = \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$g(x) = x - \frac{\pi}{4}$

Turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \cos x$.
Turunan dari $g(x)$ adalah $g'(x) = \frac{d}{dx}(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.

Sekarang kita terapkan aturan L'Hopital:
$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1} $$ 
Substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$ ke dalam ekspresi tersebut:
$$ \cos(\frac{\pi}{4}) $$ 
Nilai dari $\cos(\frac{\pi}{4})$ adalah $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Alternatif lain adalah dengan substitusi $h = x - \frac{\pi}{4}$. Maka $x = h + \frac{\pi}{4}$. Ketika $x \to \frac{\pi}{4}$, maka $h \to 0$.
Limit menjadi:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{\sqrt{2}}}{h} $$ 
Menggunakan identitas $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:
$$ \sin(h + \frac{\pi}{4}) = \sin h \cos \frac{\pi}{4} + \cos h \sin \frac{\pi}{4} $$ 
$$ = \sin h \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos h \frac{1}{\sqrt{2}} $$ 
$$ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin h + \cos h) $$ 
Substitusikan kembali ke limit:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin h + \cos h) - \frac{1}{\sqrt{2}}}{h} $$ 
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin h + \cos h - 1)}{h} $$ 
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h + \cos h - 1}{h} $$ 
Pisahkan menjadi dua limit:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} \right) $$ 
Kita tahu bahwa $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ dan $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$.
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ 
Jadi, hasil limitnya adalah $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{\sqrt{2}}{2}$.