Hasil limit x - > 0 (cos 5x - cos x)/(sin 5x + sin x)

Hasil limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan limit standar.

Limit yang diberikan adalah:
$\lim_{x 	o 0} \frac{\cos 5x - \cos x}{\sin 5x + \sin x}$

Kita bisa menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan untuk kosinus dan sinus:
$\|\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2}) \|$
$\|\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) \|$

Penerapkan identitas ini pada pembilang dan penyebut:
Pembilang: $\cos 5x - \cos x = -2 \sin(\frac{5x+x}{2}) \sin(\frac{5x-x}{2}) = -2 \sin(3x) \sin(2x)$

Penyebut: $\sin 5x + \sin x = 2 \sin(\frac{5x+x}{2}) \cos(\frac{5x-x}{2}) = 2 \sin(3x) \cos(2x)$

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x 	o 0} \frac{-2 \sin(3x) \sin(2x)}{2 \sin(3x) \cos(2x)}$

Kita bisa menyederhanakan $-2$ dan $2$, serta membatalkan $\sin(3x)$ (karena $x 	o 0$ tetapi $x 
eq 0$, maka $\sin(3x) 
eq 0$):
$\lim_{x 	o 0} \frac{-\sin(2x)}{\cos(2x)}$

Kita tahu bahwa $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x 	o 0} -\tan(2x)$

Sekarang, substitusikan $x=0$:
$-\tan(2 	imes 0) = -\tan(0) = 0$

Alternatif lain, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuk limitnya adalah $\frac{0}{0}$ saat $x=0$.
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\cos 5x - \cos x) = -5 \sin 5x - (- \sin x) = -5 \sin 5x + \sin x$.
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\sin 5x + \sin x) = 5 \cos 5x + \cos x$.

Limit setelah diturunkan:
$\lim_{x 	o 0} \frac{-5 \sin 5x + \sin x}{5 \cos 5x + \cos x}$

Substitusikan $x=0$:
$\frac{-5 \sin(0) + \sin(0)}{5 \cos(0) + \cos(0)} = \frac{-5(0) + 0}{5(1) + 1} = \frac{0}{6} = 0$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.