Himpunan penyelesaian dari 5^(2x) + 20.5^x > 125 adalah....

x > 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial 5^(2x) + 20.5^x > 125, kita dapat menggunakan substitusi.
Misalkan y = 5^x. Maka 5^(2x) = (5^x)^2 = y^2.
Pertidaksamaan menjadi:
y^2 + 20y > 125

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
y^2 + 20y - 125 > 0

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat y^2 + 20y - 125 = 0 menggunakan pemfaktoran atau rumus kuadrat.
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -125 dan jika dijumlahkan menghasilkan 20. Bilangan tersebut adalah 25 dan -5.
Jadi, persamaan dapat difaktorkan menjadi:
(y + 25)(y - 5) = 0

Akar-akarnya adalah y = -25 dan y = 5.

Pertidaksamaan (y + 25)(y - 5) > 0 terpenuhi ketika kedua faktor positif atau kedua faktor negatif.
Kasus 1: y + 25 > 0 dan y - 5 > 0
   y > -25 dan y > 5
   Irisannya adalah y > 5

Kasus 2: y + 25 < 0 dan y - 5 < 0
   y < -25 dan y < 5
   Irisannya adalah y < -25

Jadi, solusi untuk y adalah y < -25 atau y > 5.

Sekarang, substitusikan kembali y = 5^x:
1. 5^x < -25
   Fungsi eksponensial 5^x selalu bernilai positif. Oleh karena itu, tidak ada solusi untuk 5^x < -25.

2. 5^x > 5
   Karena 5 = 5^1, maka pertidaksamaan menjadi 5^x > 5^1.
   Karena basisnya (5) lebih besar dari 1, maka kita dapat menyamakan eksponennya:
x > 1

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah x > 1.