Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 log (x-4)+2 log

{8}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma 2 log (x-4) + 2 log (x-6) = 3, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma.
Pertama, gabungkan kedua logaritma di sisi kiri:
2 log [(x-4)(x-6)] = 3

Kemudian, ubah persamaan logaritma menjadi bentuk eksponensial. Ingat bahwa "log" tanpa basis berarti basisnya adalah 10:
(x-4)(x-6) = 10^(3/2)
(x-4)(x-6) = \sqrt{1000}
(x-4)(x-6) = 10\sqrt{10}

x^2 - 6x - 4x + 24 = 10\sqrt{10}
x^2 - 10x + 24 = 10\sqrt{10}

Untuk mencari nilai x, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Namun, perlu diperhatikan bahwa sebelum menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus memastikan argumen logaritma positif, yaitu:
x - 4 > 0  => x > 4
x - 6 > 0  => x > 6
Jadi, syaratnya adalah x > 6.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat x^2 - 10x + (24 - 10\sqrt{10}) = 0, kita akan mendapatkan nilai x. Namun, perlu dicatat bahwa seringkali soal semacam ini memiliki solusi bilangan bulat atau rasional yang lebih sederhana jika basisnya berbeda atau jika konstanta di sisi kanan persamaan berbeda. Jika soal ini berasal dari sumber tertentu, ada baiknya memeriksa kembali apakah ada kesalahan pengetikan pada soalnya, terutama pada basis logaritma atau konstanta di sisi kanan.

Asumsikan ada kesalahan pengetikan dan persamaan seharusnya adalah \log_2 (x-4) + \log_2 (x-6) = 3:
\log_2 [(x-4)(x-6)] = 3
(x-4)(x-6) = 2^3
(x-4)(x-6) = 8
x^2 - 10x + 24 = 8
x^2 - 10x + 16 = 0
(x-2)(x-8) = 0
Maka x = 2 atau x = 8.
Karena syaratnya x > 6, maka solusi yang memenuhi adalah x = 8.
Himpunan penyelesaiannya adalah {8}.