Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin^2 x +3 cos x=0

{120°, 240°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 2 sin^2 x + 3 cos x = 0 dalam rentang 0 <= x <= 360 derajat, kita perlu mengubah persamaan tersebut agar hanya mengandung satu fungsi trigonometri. Kita tahu bahwa sin^2 x = 1 - cos^2 x. Substitusikan ini ke dalam persamaan: 2(1 - cos^2 x) + 3 cos x = 0. Ini menjadi 2 - 2 cos^2 x + 3 cos x = 0, atau 2 cos^2 x - 3 cos x - 2 = 0. Mari kita misalkan y = cos x. Persamaan kuadratnya menjadi 2y^2 - 3y - 2 = 0. Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini: (2y + 1)(y - 2) = 0. Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi untuk y: 2y + 1 = 0 => y = -1/2, atau y - 2 = 0 => y = 2. Karena y = cos x, maka cos x = -1/2 atau cos x = 2. Nilai cos x tidak mungkin lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1, sehingga cos x = 2 tidak memiliki solusi. Kita hanya perlu mempertimbangkan cos x = -1/2. Dalam rentang 0 hingga 360 derajat, cosinus bernilai negatif di kuadran II dan III. Sudut referensi di mana cosinus adalah 1/2 adalah 60 derajat. Maka, di kuadran II, x = 180 - 60 = 120 derajat. Di kuadran III, x = 180 + 60 = 240 derajat. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120 derajat, 240 derajat}.