Diketahui f(x)=cos^2(4 x-pi). Jika f' turunan pertama f,

-2√3

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = cos^2(4x - π).
Kita perlu mencari turunan pertama dari f(x), yaitu f'(x), dan kemudian mengevaluasinya pada x = π/3.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Kita gunakan aturan rantai. Misalkan u = cos(4x - π).
Maka f(x) = u^2.

df/dx = d(u^2)/du * du/dx

Pertama, cari du/dx:
du/dx = d(cos(4x - π))/dx
Misalkan v = 4x - π.
Maka u = cos(v).
du/dx = d(cos(v))/dv * dv/dx
dv/dx = d(4x - π)/dx = 4.

du/dx = -sin(v) * 4
du/dx = -4sin(4x - π).

Sekarang, cari df/du:
df/du = d(u^2)/du = 2u.

Gabungkan hasilnya:
df/dx = 2u * (-4sin(4x - π))
df/dx = 2cos(4x - π) * (-4sin(4x - π))
df/dx = -8cos(4x - π)sin(4x - π).

Kita bisa menyederhanakan ini menggunakan identitas trigonometri 2sin(A)cos(A) = sin(2A).
Dalam kasus ini, A = 4x - π.
Jadi, -8cos(4x - π)sin(4x - π) = -4 * (2sin(4x - π)cos(4x - π))
f'(x) = -4sin(2(4x - π))
f'(x) = -4sin(8x - 2π).

Karena sin(θ - 2π) = sin(θ), maka f'(x) = -4sin(8x).

Langkah 2: Evaluasi f'(x) pada x = π/3.
f'(π/3) = -4sin(8 * π/3)
f'(π/3) = -4sin(8π/3).

Untuk menyederhanakan sin(8π/3), kita bisa menulis 8π/3 sebagai kelipatan dari 2π:
8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.
Jadi, sin(8π/3) = sin(2π + 2π/3) = sin(2π/3).

Nilai sin(2π/3) adalah √3/2.

Maka, f'(π/3) = -4 * (√3/2)
f'(π/3) = -2√3.

Jadi, nilai f'(π/3) adalah -2√3.