Pada segitiga ABC , diketahui sudut B tumpul, sin 1/2

63/65

Pembahasan

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sudut B tumpul, sin(1/2 A) = 1/√26, dan cos(2B) = 7/25.

Langkah 1: Cari nilai cos(A).
Karena sin(1/2 A) = 1/√26, kita dapat menggunakan identitas trigonometri sin^2(x) + cos^2(x) = 1 untuk mencari cos(1/2 A).
cos^2(1/2 A) = 1 - sin^2(1/2 A)
cos^2(1/2 A) = 1 - (1/√26)^2
cos^2(1/2 A) = 1 - 1/26
cos^2(1/2 A) = 25/26
cos(1/2 A) = ±5/√26.
Karena A adalah sudut dalam segitiga, 0 < A < 180 derajat, sehingga 0 < 1/2 A < 90 derajat. Maka cos(1/2 A) positif.
cos(1/2 A) = 5/√26.

Sekarang gunakan identitas cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 untuk mencari cos(A).
cos(A) = 2cos^2(1/2 A) - 1
cos(A) = 2(5/√26)^2 - 1
cos(A) = 2(25/26) - 1
cos(A) = 50/26 - 1
cos(A) = 25/13 - 13/13
cos(A) = 12/13.

Langkah 2: Cari nilai sin(B).
Diketahui cos(2B) = 7/25. Kita gunakan identitas cos(2B) = 1 - 2sin^2(B).
7/25 = 1 - 2sin^2(B)
2sin^2(B) = 1 - 7/25
2sin^2(B) = 18/25
sin^2(B) = 9/25
sin(B) = ±3/5.
Karena B adalah sudut tumpul, 90 < B < 180 derajat, maka sin(B) positif.
sin(B) = 3/5.

Langkah 3: Cari nilai cos(C).
Dalam segitiga ABC, jumlah sudutnya adalah 180 derajat, sehingga A + B + C = 180 derajat, atau C = 180 - (A + B).
Maka, cos(C) = cos(180 - (A + B)) = -cos(A + B).

Kita gunakan identitas cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B).
Kita perlu mencari cos(B). Karena B tumpul, cos(B) negatif.
cos^2(B) = 1 - sin^2(B)
cos^2(B) = 1 - (3/5)^2
cos^2(B) = 1 - 9/25
cos^2(B) = 16/25
cos(B) = -4/5 (karena B tumpul).

Kita juga perlu mencari sin(A). Karena 0 < 1/2 A < 90, maka A adalah sudut lancip, sehingga sin(A) positif.
sin^2(A) = 1 - cos^2(A)
sin^2(A) = 1 - (12/13)^2
sin^2(A) = 1 - 144/169
sin^2(A) = 25/169
sin(A) = 5/13.

Sekarang hitung cos(A + B):
cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
cos(A + B) = (12/13)(-4/5) - (5/13)(3/5)
cos(A + B) = -48/65 - 15/65
cos(A + B) = -63/65.

Terakhir, hitung cos(C):
cos(C) = -cos(A + B)
cos(C) = -(-63/65)
cos(C) = 63/65.

Jadi, nilai dari cos C adalah 63/65.