Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathTrigonometri

Himpunan penyelesaian dari persamaan sec^2 x+(akar(3)-1)

Pertanyaan

Himpunan penyelesaian dari persamaan sec^2 x+(akar(3)-1) tan x-(akar(3)+1)=0 untuk 0<=x<=180 adalah . . . .

Solusi

Verified

{45°, 120°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sec^2 x + (\sqrt{3}-1) \tan x - (\sqrt{3}+1) = 0$ untuk $0 \le x \le 180^\circ$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$. Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan: $(1 + \tan^2 x) + (\sqrt{3}-1) \tan x - (\sqrt{3}+1) = 0$ $\,\tan^2 x + (\sqrt{3}-1) \tan x + 1 - \sqrt{3} - 1 = 0$ $\,\tan^2 x + (\sqrt{3}-1) \tan x - \sqrt{3} = 0$ Misalkan $y = \tan x$. Persamaan menjadi: $\,y^2 + (\sqrt{3}-1) y - \sqrt{3} = 0$ Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $-\sqrt{3}$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $\sqrt{3}-1$. Bilangan tersebut adalah $\sqrt{3}$ dan $-1$. $(y + \sqrt{3})(y - 1) = 0$ Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$: $y = 1$ atau $y = -\sqrt{3}$. Sekarang kita substitusikan kembali $y = \tan x$: 1. $\,\tan x = 1$ Pada interval $0 \le x \le 180^\circ$, $\tan x = 1$ ketika $x = 45^\circ$. 2. $\,\tan x = -\sqrt{3}$ Pada interval $0 \le x \le 180^\circ$, $\tan x$ bernilai negatif di kuadran II. Nilai $x$ di mana $\tan x = \sqrt{3}$ adalah $60^\circ$. Jadi, di kuadran II, nilainya adalah $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Himpunan penyelesaiannya adalah {$45^\circ, 120^\circ$}.
Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Persamaan Trigonometri Dasar Dan Lanjutan

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...