Carilah semua solusi persamaan linear kongruensi berikut.

a. Tidak ada solusi. b. x ≡ 2 (mod 5). c. x ≡ 3 (mod 12).

Pembahasan

Persamaan linear kongruensi adalah persamaan yang melibatkan modulo. Berikut adalah solusi untuk setiap persamaan:

a. 2x ≡ 3 (mod 4)
   Kita perlu mencari bilangan bulat x sehingga 2x - 3 habis dibagi 4. Mari kita uji beberapa nilai x:
   Jika x=0, 2(0)-3 = -3 (tidak habis dibagi 4)
   Jika x=1, 2(1)-3 = -1 (tidak habis dibagi 4)
   Jika x=2, 2(2)-3 = 1 (tidak habis dibagi 4)
   Jika x=3, 2(3)-3 = 3 (tidak habis dibagi 4)
   Tidak ada solusi untuk persamaan ini karena gcd(2, 4) = 2, dan 2 tidak membagi 3.

b. x + 1 ≡ 3 (mod 5)
   Kurangi kedua sisi dengan 1:
   x ≡ 3 - 1 (mod 5)
   x ≡ 2 (mod 5)
   Solusinya adalah x = 5k + 2, di mana k adalah bilangan bulat.

c. 56x + 43 ≡ 211 (mod 96)
   Kurangi kedua sisi dengan 43:
   56x ≡ 211 - 43 (mod 96)
   56x ≡ 168 (mod 96)
   Kita perlu mencari invers dari 56 modulo 96. Namun, gcd(56, 96) = 8. Karena 8 membagi 168 (168 / 8 = 21), maka ada solusi.
   Bagi seluruh kongruensi dengan gcd(56, 96) = 8:
   (56/8)x ≡ (168/8) (mod 96/8)
   7x ≡ 21 (mod 12)
   Sekarang kita perlu mencari invers dari 7 modulo 12. Kita cari bilangan y sehingga 7y ≡ 1 (mod 12).
   Jika y=1, 7(1)=7 (mod 12)
   Jika y=2, 7(2)=14 ≡ 2 (mod 12)
   Jika y=3, 7(3)=21 ≡ 9 (mod 12)
   Jika y=4, 7(4)=28 ≡ 4 (mod 12)
   Jika y=5, 7(5)=35 ≡ 11 (mod 12)
   Jika y=6, 7(6)=42 ≡ 6 (mod 12)
   Jika y=7, 7(7)=49 ≡ 1 (mod 12)
   Jadi, invers dari 7 modulo 12 adalah 7.
   Kalikan kedua sisi kongruensi 7x ≡ 21 (mod 12) dengan 7:
   7 * (7x) ≡ 7 * 21 (mod 12)
   49x ≡ 147 (mod 12)
   Karena 49 ≡ 1 (mod 12) dan 147 = 12*12 + 3 ≡ 3 (mod 12):
   x ≡ 3 (mod 12)
   Solusinya adalah x = 12k + 3, di mana k adalah bilangan bulat.