Himpunan penyelesaian dari persamaan sin(3x/2-12)=sin 213

{150°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin(3x/2 - 12°) = sin(213°), kita perlu mencari nilai-nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 180°.

Persamaan umum untuk sin A = sin B adalah:
1. A = B + k * 360°
2. A = 180° - B + k * 360°

Di mana k adalah bilangan bulat.

Dalam kasus ini, A = (3x/2 - 12°) dan B = 213°.

Kasus 1: 3x/2 - 12° = 213° + k * 360°
3x/2 = 213° + 12° + k * 360°
3x/2 = 225° + k * 360°
3x = 2 * (225° + k * 360°)
3x = 450° + k * 720°
x = 150° + k * 240°

Untuk k = 0, x = 150° + 0 * 240° = 150°. (Nilai ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 180°)
Untuk k = 1, x = 150° + 1 * 240° = 390°. (Nilai ini di luar rentang)

Kasus 2: 3x/2 - 12° = 180° - 213° + k * 360°
3x/2 - 12° = -33° + k * 360°
3x/2 = -33° + 12° + k * 360°
3x/2 = -21° + k * 360°
3x = 2 * (-21° + k * 360°)
3x = -42° + k * 720°
x = -14° + k * 240°

Untuk k = 0, x = -14° + 0 * 240° = -14°. (Nilai ini di luar rentang)
Untuk k = 1, x = -14° + 1 * 240° = 226°. (Nilai ini di luar rentang)

Namun, ada kemungkinan bahwa nilai 213° merujuk pada sudut di kuadran III, di mana sinus bernilai negatif. Nilai sinus yang sama positif akan berada di kuadran I dan II.
Sin(213°) = sin(180° + 33°) = -sin(33°).

Jika soal seharusnya adalah sin(3x/2 - 12°) = sin(33°), maka:

Kasus 1: 3x/2 - 12° = 33° + k * 360°
3x/2 = 45° + k * 360°
3x = 90° + k * 720°
x = 30° + k * 240°

Untuk k = 0, x = 30°. (Dalam rentang)

Kasus 2: 3x/2 - 12° = 180° - 33° + k * 360°
3x/2 - 12° = 147° + k * 360°
3x/2 = 159° + k * 360°
3x = 318° + k * 720°
x = 106° + k * 240°

Untuk k = 0, x = 106°. (Dalam rentang)

Jika soal memang benar sin(3x/2 - 12°) = sin(213°), dan kita mencari nilai x di mana nilai sinusnya sama, maka:

Nilai sin(213°) adalah negatif.
Nilai sinus positif berada di kuadran I dan II.
Nilai sinus negatif berada di kuadran III dan IV.

Sin(213°) = sin(180° + 33°) = -sin(33°).

Jadi, kita mencari nilai x sehingga sin(3x/2 - 12°) = -sin(33°).

Ini berarti:
3x/2 - 12° = 213° + k*360°   (Ini akan menghasilkan nilai yang sama dengan sin 213°)
atau
3x/2 - 12° = 360° - 213° + k*360° = 147° + k*360° (Sudut di kuadran IV yang memiliki nilai sinus sama)

Mari kita gunakan hasil dari sin A = sin B.

Kita sudah mendapatkan dari Kasus 1: x = 150° + k * 240°. Untuk k=0, x = 150°.

Mari kita periksa apakah sin(3*150/2 - 12°) = sin(213°).
sin(3*75 - 12°) = sin(225 - 12°) = sin(213°).
Ini cocok.

Sekarang, mari kita cek lagi Kasus 2: x = -14° + k * 240°.
Untuk k=1, x = -14° + 240° = 226°.

Kita perlu mencari sudut di kuadran II yang memiliki nilai sinus sama dengan sin(213°).
Nilai sin(213°) adalah negatif. Sudut di kuadran II yang memiliki nilai sinus sama adalah tidak mungkin jika nilai sinusnya negatif.

Namun, kita harus mempertimbangkan bahwa sin(A) = sin(180 - A).
Jadi, jika sin(3x/2 - 12°) = sin(213°), maka:

1) 3x/2 - 12° = 213° + k * 360°
   3x/2 = 225° + k * 360°
   x = 150° + k * 240°
   Untuk k=0, x = 150°.

2) 3x/2 - 12° = 180° - 213° + k * 360°
   3x/2 - 12° = -33° + k * 360°
   3x/2 = -21° + k * 360°
   x = -14° + k * 240°
   Untuk k=1, x = 226°.

Kita perlu memeriksa apakah ada solusi lain dalam rentang 0° ≤ x ≤ 180°.

Mari kita perhatikan nilai dari sin(213°). Sinus di kuadran III bernilai negatif. 213° = 180° + 33°.
Jadi, sin(213°) = -sin(33°).

Maka, kita mencari solusi dari sin(3x/2 - 12°) = -sin(33°).
Ini setara dengan:
sin(3x/2 - 12°) = sin(180° + 33°) atau sin(3x/2 - 12°) = sin(360° - 33°)
sin(3x/2 - 12°) = sin(213°) atau sin(3x/2 - 12°) = sin(327°)

Kita sudah selesaikan sin(3x/2 - 12°) = sin(213°) dan mendapatkan x = 150°.

Sekarang kita selesaikan sin(3x/2 - 12°) = sin(327°):

Kasus 1: 3x/2 - 12° = 327° + k * 360°
3x/2 = 339° + k * 360°
3x = 678° + k * 720°
x = 226° + k * 240°
Untuk k = -1, x = 226° - 240° = -14° (di luar rentang).
Untuk k = 0, x = 226° (di luar rentang).

Kasus 2: 3x/2 - 12° = 180° - 327° + k * 360°
3x/2 - 12° = -147° + k * 360°
3x/2 = -135° + k * 360°
3x = -270° + k * 720°
x = -90° + k * 240°
Untuk k = 1, x = -90° + 240° = 150°. (Sudah ditemukan)
Untuk k = 0, x = -90° (di luar rentang).

Jadi, satu-satunya solusi dalam rentang 0° ≤ x ≤ 180° adalah x = 150°.

Himpunan penyelesaiannya adalah {150°}.