Himpunan penyelesaian dari persamaan sin2x=-sin100 dengan

{-50°, -40°, 130°, 140°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan sin(2x) = -sin(100°) dengan batasan -180° ≤ x ≤ 180°, kita perlu menggunakan sifat-sifat fungsi sinus.

Langkah 1: Ubah bentuk persamaan.
Kita tahu bahwa -sin(θ) = sin(-θ) atau -sin(θ) = sin(180° + θ).
Menggunakan -sin(100°) = sin(-100°), persamaan menjadi:
sin(2x) = sin(-100°)

Menggunakan -sin(100°) = sin(180° + 100°) = sin(280°), persamaan menjadi:
sin(2x) = sin(280°)

Kita juga tahu bahwa sin(θ) = sin(180° - θ). Jadi, sin(-100°) = sin(180° - (-100°)) = sin(280°). Ini konsisten.

Langkah 2: Tentukan solusi umum untuk 2x.
Jika sin(A) = sin(B), maka solusinya adalah:
A = B + n * 360°  atau  A = (180° - B) + n * 360°, di mana n adalah bilangan bulat.

Kasus 1: Menggunakan sin(2x) = sin(-100°)
   a) 2x = -100° + n * 360°
      x = -50° + n * 180°

   b) 2x = (180° - (-100°)) + n * 360°
      2x = 180° + 100° + n * 360°
      2x = 280° + n * 360°
      x = 140° + n * 180°

Langkah 3: Cari nilai x dalam rentang -180° ≤ x ≤ 180°.

Untuk solusi x = -50° + n * 180°:
   Jika n = 0, x = -50° (dalam rentang)
   Jika n = 1, x = -50° + 180° = 130° (dalam rentang)
   Jika n = -1, x = -50° - 180° = -230° (di luar rentang)

Untuk solusi x = 140° + n * 180°:
   Jika n = 0, x = 140° (dalam rentang)
   Jika n = -1, x = 140° - 180° = -40° (dalam rentang)
   Jika n = 1, x = 140° + 180° = 320° (di luar rentang)

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan dan batasan adalah -50°, 130°, 140°, dan -40°.

Himpunan penyelesaiannya adalah {-50°, -40°, 130°, 140°}.

Mari kita verifikasi dengan menggunakan -sin(100°) = sin(280°).
Kasus 2: Menggunakan sin(2x) = sin(280°)
   a) 2x = 280° + n * 360°
      x = 140° + n * 180°
      Untuk n=0, x=140°
      Untuk n=-1, x=-40°

   b) 2x = (180° - 280°) + n * 360°
      2x = -100° + n * 360°
      x = -50° + n * 180°
      Untuk n=0, x=-50°
      Untuk n=1, x=130°

Hasilnya sama.

Himpunan penyelesaiannya adalah {-50°, -40°, 130°, 140°}.